四辺形 ABCD を AD//BC の台形とし、その対角線の交点を O とする。O を通り、 AD

四辺形 ABCD を AD//BC の台形とし、その対角線の交点を O とする。O を通り、
AD に平行な直線と辺 AB、CD との交点をそれぞれ E、F とすると、O は線分 EF の中点であることを示せ。

なぜ中点となるのでしょうか…お教えくださいお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/08/20 16:53

AD=x、BC=yとおく。

△OAD∽△OCBなので、AO:CO=AD:CB=x:y（①）であり、また、DO:BO=DA:BC=x:y（②）　←これが以下の（ア）と（イ）の準備。

（ア）△AEO∽△ABCなので、EO:BC=AO:AC=AO:(AO+OC)=x:(x+y)（∵①）となって、EO･(x+y)=BC･x（←比は、内項の積=外項の積）だから、EO=(BC･x)/(x+y)=xy/(x+y)

（イ）△DFO∽△DCBなので、FO:CB=DO:DB=DO:(DO+OB)=x:(x+y)（∵②）となって、FO･(x+y)=CB･xだから、FO=(CB･x)/(x+y)=xy/(x+y)

以上の（ア）と（イ）により、EO=FOだから、Oは線分EFの中点である。