数学 方程式の解 なんの条件を使うのか

3次方程式x^3+6x^2-px-q=0 (p,qは実数とする)が相異なる3つの実数解をもち、それらを適当に並べると等比数列になるという。1つの解が4のとき、その他の2解とp,qを求めよ

という問題についてです
自分は与えられた関数の解の公比をrとおいて、
(ⅰ)4/r,4,4r が解になるとき
(ⅱ)4,4r,4r^2 が解になるとき
に場合分けをすると、未知数がp,q,rの3つであり、解と係数の関係から3本立式できるので解ける
という発想からやってみたところ、答えが何度計算しても合いませんでした
また、解説ではまず方程式にx=4を代入して立式し、その後方程式をx-4で割り、商となる2次式についての判別式からも立式し、後で解の等比数列条件を使う
といった方針で解いていました

ここで質問です
(1)私が最初に提示した解を先において解と係数の関係から解く方針では解けるのでしょうか？
(2)私は方程式の問題では毎回、解と係数の関係、判別式、因数分解(定理)、グラフによる考察など、
どのケースでどれを考えて、どれを考えない(考える必要がない)などが分からず、少し問題が複雑になると今回のように解説と全く違う方針で解こうとしてしまったり、或いは不要な条件を拾ってしまって、余計な計算をしてしまったり、答えがずれてしまったりします。(簡単な問題ではどれを使っても同じ答えに辿りつけることが多い気がするのですが…)
解説のような綺麗で自然な発想をするにはどのような箇所に注意すれば良いのでしょうか？

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2020/09/28 15:31

＞自分は与えられた関数の解の公比をrとおいて、

＞(ⅰ)4/r,4,4r が解になるとき
＞(ⅱ)4,4r,4r^2 が解になるとき に場合分けをすると、未知数がp,q,rの3つでり、＞解と係数の関係から3本立式できるので解ける

もう一つ (ⅲ) 4/r^2, 4/r, 4 がありますね。
そして 同じ r を使っていますが、これらは 3つの異なった
条件の式ですから、それぞれ 別途に 計算する必要があります。
物凄く 煩雑な 解法になると思います。

一つの解が 4 解と分かっているのですから、
与式を (x-4) で割れば、当然 割り切れる筈ですし、
商は 2次式になりますから
ズット楽に計算を進められると思いますよ。

楽な方法とは、ズルをする 訳では無く、
計算や考え方を 間違い難くする効果が 期待できます。

No.5 回答者： kacchann 回答日時： 2020/09/28 00:46

No.4です。

訂正。
模範解答が「(2次方程式の)解と係数の関係」つかってるかまでは、
わかりませんでしたね。

No.4 回答者： kacchann 回答日時： 2020/09/28 00:43

＞私が最初に提示した解を先において解と係数の関係から解く方針では解ける

普通にとけるっぽい。
つまり方針としては、悪くはない。

模範解答は、「2次方程式の」解と係数の関係に帰着させてるわけ。
君の方針は、3次方程式の解と係数の関係を使っている。
それだけの違い。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/09/28 00:38

(1) だけ. 「やりたい」かどうかはさておき「できるかどうか」でいえばできるはず. もちろん (i) と (ii) は別に考えないとダメだけど, それは当然やってるはずだよね.

あとは, あなたが「なにをどうしたのか」という話. 少なくとも, これでは「なにが悪いのか」は読みようがない.

No.2 回答者： むらさめ 回答日時： 2020/09/28 00:29

(1)解けない。

4/r,4,4r　と　4,4r,4r^2　のいずれになるのか最初は判らない。
4/r,4,4r　の関係から　p、q、r　についての立式　と
4,4r,4r^2　の関係から　p、q、r　についての立式　は別の立式になるので、
この2つの条件を合わせて連立方程式として解くことは出来ないです。
故に、>何度計算しても合いません　という結果は当然。

(2)練習問題を多く解くことあるのみかなあ…。
複雑な問題は、式を観た瞬間、勘で解きに掛かる部分は多いのですが、その勘は当てずっぽうではなく、今までの経験に由来するものです。

綺麗さは一つの理想かもしれないですが、泥臭さも個性だと思います。
そして、質問のような問題は解き方が綺麗である必要はないです。
最初の勘(第一勘)から軌道修正しながら解いても、答えさえ合っていれば問題はないです。
第一勘の精度を上げるためにも練習問題の多くこなすことや、解いたあとから他の解き方が無いかを考えることも重要になると思います。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/09/28 00:13

(1)私が最初に提示した解を先において解と係数の関係から解く方針では解けるのでしょうか？

⇒場合分けの考え方が足りないし、求める変数が増えるので難しいと思う。

初項をa, 公比をrとすると、a, ar, ar^2が解になる。
(i) a=4の場合：4, 4r, 4r^2
(ii) ar=4の場合：4/r, 4, 4r
(iii) ar^2=4の場合：4/r^2, 4/r, 4

(ii)の場合は、q=-64となるが、(i)はq=-64r^3、(iii)はq=-64/r^3となり問題が複雑化する方向になると思う。

(2)解説のような綺麗で自然な発想をするにはどのような箇所に注意すれば良いのでしょうか？
⇒未定定数を少しでも減らし、絞り込みを行った後、解の特性（この場合等比数列）を適用するほうが考慮する量が減るので楽だろうね。

解説にある通り、

因数定理でpとqの関係式を導出する。
因数分解と解の公式で、解の絞り込みを行う。
解の絞り込みが出来た段階で、等比数列を適用する。

解法が考えやすいし、結果的に答えにつながりやすいと思う。