1問だけでも曲率を求めて頂けないでしょうか。

(1)曲線(t cost , t sint)

(2)双曲線(x/a)^(2) -(y/b)^(2) =1

(3)放物線 y= ax^2

(4)極方程式 r=ae^θ

(5)カージオイド r=a(a+cosθ)

本当に1問だけでも構いません。何卒宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/06/11 12:45

1.

ベクトル<r>がパラメータtの表示のとき、「'」は d/dt とすると
κ=|<r>'×<r>''|/|<r>'|³

2.
y=f(x)のとき、「'」は d/dx とすると
κ=|y''|/(1+y'²)³/²

3.
(1)
<r>=<tcost, tsint, 0> ,

<r>'=<cost-tsint, sint+tcost, 0>
<r>''=<-2sint-tcost, 2cost-tsint, 0>

<r>'×<r>''
　　=<0, 0, (cost-tsint)(2cost-tsint)+(sint+tcost)(2sint+tcost)>
　　=<0, 0, 2cos²t+t²sin²t-3tsintcost+2sin²t+t²cos²t+3tsintcost>
　　=<0, 0, 2+t²>
|<r>'×<r>''|=|2+t²|=2+t²
|<r>'|³={(cost-tsint)²+(sint+tcost)²}³/²=(1+t²)³/²
κ=(2+t²)/(1+t²)³/²


(2)
b²x²-a²y²=(ab)²

2x/a²-2yy'/b²=0 → y'=(b²/a²)x/y
1/a²-(y'²+yy'')/b²=0
→ |y''|=|(b²/a²-y'²)/y|=|{b²/a²-(b²/a²)²(x/y)²}/y|
　　　 =(b²/a⁴)|(a²y²-b²x²)/y³|=(b⁴/a²)/|y³|
(1+y'²)³/²=(1+(b²/a²)²(x/y)²)³/²={(a⁴y²+b⁴x²)³/²}/a⁶|y|³
　　　　={(a²(b²x²-a²b²)+b⁴x²)³/²}/a⁶|y|³
　　　　={((a²+b²)x²-a⁴)³/²}b³/a⁶|y|³
κ=(b⁴/a²)/[{((a²+b²)x²-a⁴)³/²}b³/a⁶]=a⁴b/((a²+b²)x²-a⁴)³/²


(3)
y'=2ax , y''=2a
κ=2|a|/(1+(2ax)²)³/²


(4)
<r>=ae^θ<cosθ, sinθ, 0> , 「'」を d/dθとすると
<r>'=ae^θ<cosθ, sinθ, 0>+ae^θ<-sinθ, cosθ, 0>
　　=ae^θ<cosθ-sinθ, sinθ+cosθ, 0>
<r>''=ae^θ<cosθ-sinθ, sinθ+cosθ, 0>
　　　　+ae^θ<-sinθ-cosθ, cosθ-sinθ, 0>
　　=ae^θ<-2sinθ, 2cosθ, 0>

|<r>'×<r>''|=a²e^2θ |(cosθ-sinθ)2cosθ+(sinθ+cosθ)2sinθ|
　　　=2a²e^2θ
|<r>'|³=a³e^3θ {(cosθ-sinθ)²+(sinθ+cosθ)²}³/²
　　　=(2)³/² a³e^3θ
κ=1/{(√2)ae^θ}


(5)
r=a(1+cosθ) ・・・ 訂正
(4)に準じて
<r>=a<(1+cosθ)cosθ, (1+cosθ)sinθ, 0>
　　=a<cosθ+cos²θ, sinθ+(sin2θ)/2, 0>

<r>'=a<-sinθ-2cosθsinθ, cosθ+cos2θ, 0>
　　=a<-sinθ-sin2θ, cosθ+cos2θ, 0>
<r>''=a<-cosθ-2cos2θ, -sinθ-2sin2θ, 0>
|<r>'×<r>''|
　　=a²|(sinθ+sin2θ)(sinθ+2sin2θ)+(cosθ+cos2θ)(cosθ+2cos2θ)|
　　=a²|3+3(cosθcos2θ+sinθsin2θ)|=3a²|1+cos(2θ-θ)|
　　=3a²|1+cosθ|=6a²cos²(θ/2)
|<r>'|³=a³{(sinθ+sin2θ)²+(cosθ+cos2θ)²}³/²
　　　=a³{2+2cosθ}³/²=a³{4cos²(θ/2)}³/²
　　　=8a³|cos(θ/2)|³
κ=3/{4a|cos(θ/2)|}

この回答へのお礼

大変ありがとうございます。
訂正までして頂いて感謝の極みです。

お礼日時：2021/06/11 21:38