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( )内に指定された項の係数を求めよ
(2X+3)4乗 (X)3乗
分かりません。

質問者からの補足コメント

  • 説明もあるとありがたいです

      補足日時:2021/06/11 08:09

A 回答 (4件)

(2X+3)^20 とか (2X+3)^100 とかなら二項定理ですけどね。


たった 4乗なら、普通に括弧を展開するだけでも済みます。
たいした計算じゃあないでしょう?

あと、別法として、こんなのはいかが?
f(X) = (2X+3)^4 における X^3 の係数が c だとすると、
3回微分して x=0 を代入すれば f’’’(0) = (3!)c.
f’’’(x) = 4・3・2(2X+3)^1 ・2^3 より
c = f’’’(0)/3! = 24・3・8/6 = 96 です。
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腕組みをして 唸っているだけでは 前進はしません。


手を動かしてみましょう。
解説って、分配の法則を使って 地道に展開すれば 答えが出ますよ。
これが 10乗や 20乗の係数なら、いろいろな方法を使わないと無理ですが、
4乗くらいなら そんなに時間はかからない筈です。
尚、2x=a, 3=b として (a+b)⁴ を展開して
後で 2x, 3 に戻せば、計算ミスが 少しは減らせると思いますよ。
3乗の項は 4a³b ですから、4*(2x)³*3=96x³ となりますね。
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どういう問題のかが分かりません。



「(2x + 3)⁴ の、x³ の項の係数を求めよ」ということかな?

#1 さんのように「二項定理」を使えばよいのだけど、「どうしてそうなるのか」が分からずに使っても「トンチンカン」な答を出しかねなので、

ドン臭く、ちゃんと展開してみろ!

と言いたい。

「○乗」をいちいち「右肩小文字」(これは特殊文字)で書くのは面倒なので「^〇」と書くことにすると

(2x + 3)^4 = [(2x + 3)^2]^2
= [4x^2 + 12x + 9]^2
= (4x^2 + 12x + 9)(4x^2 + 12x + 9)
= 4x^2・(4x^2 + 12x + 9) + 12x(4x^2 + 12x + 9) + 9(4x^2 + 12x + 9)
= (16x^4 + 48x^3 + 36x^2) + (48x^3 + 144x^2 + 108x) + (36x^2 + 108x + 81)
= 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81

なので、x^3 の係数は「96」。

「分からない」だの「説明してくれ」という前に、自分で手を動かせ!
「賢いやり方」を学ぶのはその後だよ。
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二項定理を使います。


(2x+3)⁴=₄C₀(2x)⁴*3⁰+₄C₁(2x)³*3¹+₄C₂(2x)²*3²
      ₄C₃(2x)*3³+₄C₄(2x)⁰*3⁴
(X)3乗項の係数は、₄C₁(2x)³*3¹、₄C₁=4!/(3!*1!)=4
(2x)³=8x³、3¹=3よって、
   4x8x3=96
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