不定積分

①∮（0→2）2x+1/√（x^2+4）=?

②∮(0→√3)x/x+√（x^2+1）dx=?

③∮(0→π)sinx/cos^2x+4cosx+3=?

朝テストで出て、とけなかった問題たちです。
どうか教えて下さい…
とくに1番は詳しく教えてもらえればと思います

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/09/03 16:36

∫_{0～2}{2x+1/√(x^2+4)}dx

=∫_{0～2}(2x)dx+∫_{0～2}{1/√(x^2+4)}dx

∫_{0～2}(2x)dx
=[x^2]_{0～2}
=4

x=e^t-e^(-t)
とすると
dx={e^t+e^(-t)}dt

x^2+4
={e^t-e^(-t)}^2+4
=e^(2t)+e^(-2t)+2
={e^t+e^(-t)}^2

√(x^2+4)=e^t+e^(-t)

x+√(x^2+4)=2e^t
{x+√(x^2+4)}/2=e^t
log{x+√(x^2+4)}/2=t
x=0の時t=log{0+√(0^2+4)}/2=0
x=2の時t=log{2+√(2^2+4)}/2=log(1+√2)

∫_{0～2}{1/√(x^2+4)}dx
=∫_{0～log(1+√2)}dt
=log(1+√2)

∫_{0～2}{2x+1/√(x^2+4)}dx
=4+log(1+√2)

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2021/09/03 15:49

本題からは外れますが、このような普通の積分に∮と言う記号は使いません。

これは閉曲線上の線積分や閉曲面上の面積分の場合に使うものであって、積分の一般的な記号は高校でも習った∫です。

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2021/09/03 15:02

不定積分ではなく、定積分ですね。

それと 分数は 分母と分子の 区別を
分かるようにしないと、誤解されます。
① 2x+{1/√(x²+4)} か (2x+1)/√(x²+4) か 分かりません。
これについては ②, ③ も同じです。
又、①, ③ では 何で積分するかも 書かれていません。

この問題があると云う事は、置換積分を 習っていますね。
どこが どの様に 分からないかを
具体的に書いてくれると 回答が付きやすいですよ。
（私は 積分を他人に教えるほどの 能力がありません。ごめん。）