△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点X,Yを 線分BXの長さ=線分CYの長さ となるようにとります。

△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点X,Yを
線分BXの長さ=線分CYの長さ
となるようにとります。ただし、B≠X,C≠Yとします。このとき、
線分XYの長さ<辺BCの長さ
となることは、中学数学ではどのように証明するのでしょうか？

No.16 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/08 11:49

No.15様

これで終わりにします。
ならば、「」内を数学で証明しないと駄目なのです。

私は「」内の証明はしていません。
XY＞BCならば、ABCは△にはならない、と言ってます。
BX≠CYなんかは証明していません。

No.15 回答者： konjii 回答日時： 2022/03/08 08:26

題意の対偶は

「線分XYの長さ＞辺BCの長さならば、線分BXの長さ≠線分CYの長さである」 t_fumiakiさまが証明したように正しい。

No.14 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/07 20:20

>>線分BXの長さ=線分CYの長さだから、BC<XYは有りえないのです。

そうですよ、「見た目や雰囲気では」です。
話が最初に戻りましたね。

何故、BX=CYならXY<BCなのか？を数学で証明しないといけないのです。

No.13 回答者： konjii 回答日時： 2022/03/07 16:08

線分BXの長さ=線分CYの長さだから

下図の通りのBC<XYは有りえないのです。

No.12 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/07 13:06

>>線分BCと線分XYの長さの差が最大になるのは、A＝X,またはA＝Yの時です。

だから？
下図の通りBC<XYが有りえるのです。

No.11 回答者： konjii 回答日時： 2022/03/07 12:36

線分BCと線分XYの長さの差がなくなるのは、B＝X,C＝Yの時で

線分BCと線分XYの長さの差が最大になるのは、A＝X,またはA＝Yの時です。

この回答へのお礼

線分XYが最も短い場合に示したとしても、線分XYがそれより長い場合について示したことにはならないのでは？

お礼日時：2022/03/07 15:23

No.10 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/07 11:40

もっとストレートに行きます。

中学生でも理解出来ると思います。

補題が要ります。
対応する2辺が等しい△では、2辺を挟む角が大きい方が対辺が長い。

(補題の証明)
図の上で赤が重なってる図が一番右です。
青線で挟まれた角の2等分線がAC'と交わる点をPとします。
2個の小さい△は合同なので、CP=C'P

△の2辺の和は、残りの辺より大きい。
これより、BC<BP+CP=BP+CP'=BC' 　つまりBC<BC'

本題の証明
図の下
ABCは△なので、∠B+∠C=□＋△＋○ < 180°
また、□＋△＋◎=180°

これにより○<◎

補題より、XY < BC

この回答へのお礼

このような素晴らしい解き方があるとは…。
ありがとうございました。

お礼日時：2022/03/07 15:40

No.9 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/07 11:06

No.8様

>>①、②から、BC-XY＝BC-AC＋XB＝BC＋ABーAC＞０

これはxがAと重なってる場合ですよ。
AXYは△じゃ無いですよ。

No.8 回答者： konjii 回答日時： 2022/03/07 09:18

では、差をとらずに

ΔABC、ΔAXYの三角形の書ける条件は
AB＋AC＞BC‥①
AB＋BC＞AC‥②
AX+AY＞XY‥③
AB＜ACとして、AB＝XBの場合、
③はAX＋AY≧XYとなるが、AX=0、AY=AC-XBから
０＋ACーXB＝XY＞０
①、②から
BC-XY＝BC-AC＋XB＝BC＋ABーAC＞０
従って、
BC>XY

この回答へのお礼

AB≠XBの場合はどうなるのでしょうか？

お礼日時：2022/03/07 12:14

No.7 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/03/06 18:43

No.6様

不等号の2式の辺々同士を引き算するのは禁じ手ですよ。

8<10
1<9

辺々同士を引き算すると、7<1
これって、変でしょ？