数A

3n+16と4n+18の最大公約数が5となるような50以下の自然数nを全て求めなさい。

この問題の答えが
4n+18=（2n+16）×1+n+2
3n+16=（n+2）×3+10
よって3n+16と4n+18の最大公約数はn+2と10の最大公約数に等しい。
10=2×5であるからn+2と10の最大公約数が5になる時
N+2は奇数の5の倍数となる
1≦n≦50より3≦n+2≦52であるから
n+2=5,15,25,35,45
したがってn=3,13,23,33,43

なのですが、全く理解が出来なくて、なぜ
3n+16=（n+2）×3+10
になるのかが分かりません。
教えていただけると嬉しいです。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/28 21:31

やってることをおおらかに見るとユークリッドの互除法だよね.

No.1 回答者： 河内のおやじ 回答日時： 2024/02/28 21:16

最大公約数が5となるような整数nを見つけるために、まず式を因数分解してみましょう。

まず、\(3n+16\)と\(4n+18\)の最大公約数が5であるということは、それぞれを5で割った時に互いに素であることを意味します。

式を因数分解すると:

\(3n+16 = 5(a)\) と \(4n+18 = 5(b)\) となります。

ここで、\(a\)と\(b\)は整数です。

これらの式を解くために、 \(n\)に関する方程式を得る必要があります。

\(3n + 16 = 5a\)を\(n\)について解きます。

\(3n = 5a - 16\)　→　\(n = \frac{5a - 16}{3}\)

同様に、\(4n + 18 = 5b\)を\(n\)について解きます。

\(4n = 5b - 18\)　→　\(n = \frac{5b - 18}{4}\)

ここで、\(a\)と\(b\)は整数である必要があります。

50以下の\(n\)を見つけるために、\(a\)と\(b\)を試してみましょう。

\(a\)と\(b\)は5の倍数である必要があるので、\(5a - 16\)と\(5b - 18\)はそれぞれ3と4で割り切れる必要があります。

\(a\)と\(b\)に5の倍数を代入し、それぞれ3と4で割り切れるかどうかを確認します。

まず、\(a\)に5を代入してみましょう。

\(5a - 16 = 5 \times 5 - 16 = 25 - 16 = 9\)

9は3で割り切れるので、\(a = 5\)となります。

次に、\(b\)に5を代入してみましょう。

\(5b - 18 = 5 \times 5 - 18 = 25 - 18 = 7\)

7は4で割り切れないので、\(b\)に5を代入しても条件を満たしません。

次に、\(a\)に10を代入してみましょう。

\(5a - 16 = 5 \times 10 - 16 = 50 - 16 = 34\)

34は3で割り切れません。

同様に、\(a\)と\(b\)に15、20、25、30、35、40、45を試してみてください。そして、該当する\(n\)を求めることができます。