次元

（この質問の横ベクトルは縦ベクトルとして考えてください。）
線形空間の次元は基底の数です、
それは
(xyz) をみたときに普通
標準基底で
x(100)+y(010)+z(001)
となってると思うから
３次元だと判断しますけど
実は
(xyz) が他の任意スカラーで
s(101)+t(011)
みたいに
本当は
(s t s+t) のような元でなる部分空間だったらとしたら
その次元は２になるとおもいます。
一つの質問はここまでは正しいですか？
また、もう一つ質問は
線形写像とかを考えるときに
上の例のような 隠伏的な関係がある場合に
(x'y'z') = A(xyz)
とかするときにAを３×３行列にしたくなりますけど
本当は
３ｘ２行列だと思います。
それは、つまり
(s t s+t) とあわされるとき
(s t)と考えて(s+t)のとこは消していいんですか？？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/18 13:09

その状況を、

V := { (s,t,s+t) | s,t∈R } は R^3 の 2次元部分線型空間である
と言います。V は、基底 { (1,0,1), (0,1,1) } を持ちますからね。
ベクトル空間は、より高次のベクトル空間へ部分空間として
埋め込むことができますから、ベクトル空間自身の次元と
それを埋め込んだ先の空間の次元とは異なる場合があります。

V 上の線形写像を考えるとき、それを
(s,t) の一次変換と見て 3×2 の行列で表現してもよいし、
R^3 上の線形写像の定義域を V だけに制限したと考えて
3×3 の行列で表現してもいい。
ただし、R^3 上の異なる線形写像で V 上でだけ一致するものは
多数ありますから、3×2 の表現行列は一意には決まりません。

この回答へのお礼

お礼日時：2024/05/20 17:02