16と-8の最大公約数という概念はありますか？あるならgcdを教えてください。この場合8なのでしょう

16と-8の最大公約数という概念はありますか？あるならgcdを教えてください。この場合8なのでしょうか。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/08/23 18:35

算数では、最大公約数は自然数間のものだけですね。

代数学では、一般の環において最大公約数や素因数分解を考えるのですが、
その際、単元倍で移りあう因子は同じものとみなします。

有理整数環では単元(1の約数)は ±1 だけですから、
絶対値が等しい整数どうしを因子として同じものと見ることになります。

16 と 8 でも、
16 と -8 でも、
-16 と 8 でも同じことで、要するに
±16 と ±8 の最大公約数は、±8 です。

この場合、「最大公約数」の「最大」とは、
自然数や実数の大小関係での最大ではなく、
整除関係での最大...
公約数の中で、他のどの公約数でも割り切れるもの
のことを表しています。

整除関係と「最大」についての参考↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%9F_(%E6%9D% …

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2024/08/23 19:29

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/08/23 16:17

何も断りが無ければ、整数論では負の整数も含めることになっています。

小中学校では自然数が前提なってる場合が多いです。

16と-8の最大公約数は必ず正なので8です。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2024/08/23 14:35

gcd って　自然数だけとおもいます