６ｍｎ±ｍ±ｎ

Question

ｍ、ｎを自然数として、
6mn±m±n
つまり
6mn+m+n
6mn+m-n
6mn-m+n
6mn-m-n
の４つの式で表せる数を考えたとき、
ある数 k 以上の整数をすべて表現できるか、あるいはできないか、
という証明は出来ないものでしょうか？

mtrajcp · Accepted Answer

質問の問題は、
k 以上の整数で 6x±1 型のものは皆
2つの 6x±1 型の整数の積に分解できるか？
という話ではありません

質問の問題は、
k 以上の整数xに対して
6x+1
または
6x-1
のどちらかが
2つの 6y±1 型の整数の積に分解できるか？
という話です

いくらでも大きい双子素数でない素数pが存在するけれども
p=6x-1のとき
6x+1は合成数だから2つの 6y±1 型の整数の積に分解できる
p=6x+1のとき
6x-1は合成数だから2つの 6y±1 型の整数の積に分解できる
から
質問のような k は存在しないとはいえない

6j+1 が素数←→ j=6mn+m+n.or.j=6mn-m-n	となる自然数m,nは存在しない
6j-1 が素数←→ j=6mn+m-n となる自然数m,nは存在しない
6j+1 が合成数←→ j=6mn+m+n.or.j=6mn-m-nとなる自然数m,nは存在する
6j-1 が合成数←→ j=6mn+m-n となる自然数m,nは存在する

6*4-1=23は素数だから4=6mn+m-nとなる自然数m,nは存在しないけれども
6*4+1=25は合成数だから4=6mn-m-nとなる自然数m,nは存在する
から4は4つの式で表せる数である

だから

質問の問題は、
k 以上の整数xに対して
6x+1
と
6x-1
のどちらも
2つの 6y±1 型の整数の積に分解できないようなxが存在するか？
という話です

質問の問題は、
k 以上の整数xに対して
6x+1と6x-1のどちらも素数(双子素数)となるようなxが存在するか？
という話です

質問の問題は、
双子素数が無数に存在するか
という話です

素数が無数に存在することは証明されているけれども

これに対し、双子素数が無数に存在するかという問題、
いわゆる「双子素数の予想」は、いまだに数学上の未解決問題である。

2020年7月現在で知られている最大の双子素数は、

2996863034895 × 2^1290000 ± 1

mtrajcp · Answer

任意の自然数kに対して
k<j
&
j=6mn+m+nとなる自然数m,nは存在しない
&
j=6mn+m-nとなる自然数m,nは存在しない
&
j=6mn-m+nとなる自然数m,nは存在しない
&
j=6mn-m-nとなる自然数m,nは存在しない
(4つの式で表せない)
となるような
自然数jが存在する
事を証明できれば
双子の素数6j-1,6j+1が無限にあることが証明できる

mtrajcp · Answer

1→6*1-1=5,6*1+1=7,は双子の素数だから1は4つの式で表現できない
2→6*2-1=11,6*2+1=13,は双子の素数だから2は4つの式で表現できない
3→6*3-1=17,6*3+1=19,は双子の素数だから3は4つの式で表現できない
4→6*4-1=23,6*4+1=25は合成数だから4=6mn-m-nで表現できる
5→6*5-1=29,6*5+1=31,は双子の素数だから5は4つの式で表現できない
6→6*6+1=37,6*6-1=35は合成数だから6=6mn+m-nで表現できる
7→6*7-1=41,6*7+1=43,は双子の素数だから7は4つの式で表現できない
8→6*8-1=47,6*8+1=49は合成数だから8=6mn+m+nで表現できる
9→6*9-1=53,6*9+1=55は合成数だから9=6mn-m-nで表現できる
10→6*10-1=59,6*10+1=61,は双子の素数だから10は4つの式で表現できない
11→6*11+1=67,6*11-1=65は合成数だから11=6mn+m-nで表現できる
12→6*12-1=71,6*12+1=73,は双子の素数だから12は4つの式で表現できない
13→6*13+1=79,6*13-1=77は合成数だから13=6mn+m-nで表現できる
14→6*14-1=83,6*14+1=85は合成数だから14=6mn-m-nで表現できる
15→6*15-1=89,6*15+1=91は合成数だから15=6mn+m+nで表現できる
16→6*16+1=97,6*16-1=95は合成数だから16=6mn+m-nで表現できる
17→6*17-1=101,6*17+1=103,は双子の素数だから17は4つの式で表現できない
18→6*18-1=107,6*18+1=109,は双子の素数だから18は4つの式で表現できない
19→6*19-1=113,6*19+1=115は合成数だから19=6mn-m-nで表現できる
20→6*20-1=119,6*20+1=121は合成数だから20=6mn-m-nで表現できる

ありものがたり · Answer

双子素数である必要は、特にない。

No.1 は k と 6k±1 を混同してる箇所があって
修正が必要だった。

T = 6k-1 と置いて、
「T 以上の整数は素数でない」ような T が存在しないことから
題意のような k は存在しない
に修正すれば ok.

mtrajcp · Answer

双子の素数が無限にあることを仮定すると

任意の自然数kに対して

6k+1<p=6j-1<q=6j+1

となるような双子の素数
p=6j-1
q=6j+1
が存在する
6k<6k+1<6j-1<6j
k<j

j=6mn+m+n となる自然数m,nがあると仮定すると
q
=6j+1
=(6m+1)(6n+1)
6m+1≧7,6n+1≧7
となってqが素数であることに矛盾するから
j=6mn+m+n となる自然数m,nは存在しない

j=6mn+m-n となる自然数m,nがあると仮定すると
p
=6j-1
=(6m-1)(6n+1)
6m-1≧5,6n+1≧7
となってpが素数であることに矛盾するから
j=6mn+m-n となる自然数m,nは存在しない

j=6mn-m+n となる自然数m,nがあると仮定すると
p
=6j-1
=(6m+1)(6n-1)
6m+1≧7,6n-1≧5
となってpが素数であることに矛盾するから
j=6mn-m+n となる自然数m,nは存在しない

j=6mn-m-n となる自然数m,nがあると仮定すると
q
=6j+1
=(6m-1)(6n-1)
6m-1≧5,6n-1≧5
となってqが素数であることに矛盾するから
j=6mn-m-n となる自然数m,nは存在しない

だから

双子の素数が無限にあることを証明すれば
k以上の整数のすべてを4つの式では表現できないことが証明できる

ありものがたり · Answer

6mn + m + n = A,
6mn + m - n = B,
6mn - m + n = C,
6mn - m - n = D
と置くと、この４つの式は
(6m+1)(6n+1) = 6A+1,　…①
(6m-1)(6n+1) = 6B-1,　…②
(6m+1)(6n-1) = 6C-1,　…③
(6m-1)(6n-1) = 6D+1　…④
と変形できます。

質問の問題は、
k 以上の整数で 6x±1 型のものは皆
2つの 6x±1 型の整数の積に分解できるか？
という話だと判ります。

mod 6 での乗算表が
　   1　2　3　4　5
1　1　2　3　4　5
2　2　4　6　2　4
3　3　0　3　0　3
4　4　2　0　4　2
5　5　4　3　2　1
であることを考えると、
6x±1 型の整数を積に分解する方法は
上記の①②③④のパターンしかありません。
(6 で割って 5 余るのと -1 余るのは同じことです。)

よって、質問の問題は、
k 以上の整数で 6x±1 型のものは皆
2つの整数の積に分解できるか？
と同じことです。

m > 0, n > 0 より 6m+1 > 1, 6n+1 > 1 なので、
k 以上の整数で 6x±1 型のものは皆
素数ではないか？
とも言いかえられます。

エラトステネスの篩を思い出せば。
5 以上の素数はどれも 6x±1 型だと判りますから、
上記は、
k 以上の整数は素数ではないか？
でも同じことです。

ところが、いくらでも大きい素数が存在する
ことが知られていますから、
質問のような k は存在しません。

６ｍｎ±ｍ±ｎ

質問の問題は、

任意の自然数kに対して

1→6*1-1=5,6*1+1=7,は双子の素数だから1は4つの式で表現できない

双子素数である必要は、特にない。

双子の素数が無限にあることを仮定すると

6mn + m + n = A,

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