
No.1
- 回答日時:
6mn + m + n = A,
6mn + m - n = B,
6mn - m + n = C,
6mn - m - n = D
と置くと、この4つの式は
(6m+1)(6n+1) = 6A+1, …①
(6m-1)(6n+1) = 6B-1, …②
(6m+1)(6n-1) = 6C-1, …③
(6m-1)(6n-1) = 6D+1 …④
と変形できます。
質問の問題は、
k 以上の整数で 6x±1 型のものは皆
2つの 6x±1 型の整数の積に分解できるか?
という話だと判ります。
mod 6 での乗算表が
1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 4 6 2 4
3 3 0 3 0 3
4 4 2 0 4 2
5 5 4 3 2 1
であることを考えると、
6x±1 型の整数を積に分解する方法は
上記の①②③④のパターンしかありません。
(6 で割って 5 余るのと -1 余るのは同じことです。)
よって、質問の問題は、
k 以上の整数で 6x±1 型のものは皆
2つの整数の積に分解できるか?
と同じことです。
m > 0, n > 0 より 6m+1 > 1, 6n+1 > 1 なので、
k 以上の整数で 6x±1 型のものは皆
素数ではないか?
とも言いかえられます。
エラトステネスの篩を思い出せば。
5 以上の素数はどれも 6x±1 型だと判りますから、
上記は、
k 以上の整数は素数ではないか?
でも同じことです。
ところが、いくらでも大きい素数が存在する
ことが知られていますから、
質問のような k は存在しません。
分かりやすい解説、ありがとうございます。
なるほど、素数を表現している式そのものなのですね。
もし4つの式で”表せない”数 k が存在すれば、6k±1 が双子素数になると思うのですが、これで双子素数が無限にあることの証明にはならないのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
双子の素数が無限にあることを仮定すると
任意の自然数kに対して
6k+1<p=6j-1<q=6j+1
となるような双子の素数
p=6j-1
q=6j+1
が存在する
6k<6k+1<6j-1<6j
k<j
j=6mn+m+n となる自然数m,nがあると仮定すると
q
=6j+1
=(6m+1)(6n+1)
6m+1≧7,6n+1≧7
となってqが素数であることに矛盾するから
j=6mn+m+n となる自然数m,nは存在しない
j=6mn+m-n となる自然数m,nがあると仮定すると
p
=6j-1
=(6m-1)(6n+1)
6m-1≧5,6n+1≧7
となってpが素数であることに矛盾するから
j=6mn+m-n となる自然数m,nは存在しない
j=6mn-m+n となる自然数m,nがあると仮定すると
p
=6j-1
=(6m+1)(6n-1)
6m+1≧7,6n-1≧5
となってpが素数であることに矛盾するから
j=6mn-m+n となる自然数m,nは存在しない
j=6mn-m-n となる自然数m,nがあると仮定すると
q
=6j+1
=(6m-1)(6n-1)
6m-1≧5,6n-1≧5
となってqが素数であることに矛盾するから
j=6mn-m-n となる自然数m,nは存在しない
だから
双子の素数が無限にあることを証明すれば
k以上の整数のすべてを4つの式では表現できないことが証明できる
No.3
- 回答日時:
双子素数である必要は、特にない。
No.1 は k と 6k±1 を混同してる箇所があって
修正が必要だった。
T = 6k-1 と置いて、
「T 以上の整数は素数でない」ような T が存在しないことから
題意のような k は存在しない
に修正すれば ok.
No.4
- 回答日時:
1→6*1-1=5,6*1+1=7,は双子の素数だから1は4つの式で表現できない
2→6*2-1=11,6*2+1=13,は双子の素数だから2は4つの式で表現できない
3→6*3-1=17,6*3+1=19,は双子の素数だから3は4つの式で表現できない
4→6*4-1=23,6*4+1=25は合成数だから4=6mn-m-nで表現できる
5→6*5-1=29,6*5+1=31,は双子の素数だから5は4つの式で表現できない
6→6*6+1=37,6*6-1=35は合成数だから6=6mn+m-nで表現できる
7→6*7-1=41,6*7+1=43,は双子の素数だから7は4つの式で表現できない
8→6*8-1=47,6*8+1=49は合成数だから8=6mn+m+nで表現できる
9→6*9-1=53,6*9+1=55は合成数だから9=6mn-m-nで表現できる
10→6*10-1=59,6*10+1=61,は双子の素数だから10は4つの式で表現できない
11→6*11+1=67,6*11-1=65は合成数だから11=6mn+m-nで表現できる
12→6*12-1=71,6*12+1=73,は双子の素数だから12は4つの式で表現できない
13→6*13+1=79,6*13-1=77は合成数だから13=6mn+m-nで表現できる
14→6*14-1=83,6*14+1=85は合成数だから14=6mn-m-nで表現できる
15→6*15-1=89,6*15+1=91は合成数だから15=6mn+m+nで表現できる
16→6*16+1=97,6*16-1=95は合成数だから16=6mn+m-nで表現できる
17→6*17-1=101,6*17+1=103,は双子の素数だから17は4つの式で表現できない
18→6*18-1=107,6*18+1=109,は双子の素数だから18は4つの式で表現できない
19→6*19-1=113,6*19+1=115は合成数だから19=6mn-m-nで表現できる
20→6*20-1=119,6*20+1=121は合成数だから20=6mn-m-nで表現できる
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
質問の問題は、
k 以上の整数で 6x±1 型のものは皆
2つの 6x±1 型の整数の積に分解できるか?
という話ではありません
質問の問題は、
k 以上の整数xに対して
6x+1
または
6x-1
のどちらかが
2つの 6y±1 型の整数の積に分解できるか?
という話です
いくらでも大きい双子素数でない素数pが存在するけれども
p=6x-1のとき
6x+1は合成数だから2つの 6y±1 型の整数の積に分解できる
p=6x+1のとき
6x-1は合成数だから2つの 6y±1 型の整数の積に分解できる
から
質問のような k は存在しないとはいえない
6j+1 が素数←→ j=6mn+m+n.or.j=6mn-m-n となる自然数m,nは存在しない
6j-1 が素数←→ j=6mn+m-n となる自然数m,nは存在しない
6j+1 が合成数←→ j=6mn+m+n.or.j=6mn-m-nとなる自然数m,nは存在する
6j-1 が合成数←→ j=6mn+m-n となる自然数m,nは存在する
6*4-1=23は素数だから4=6mn+m-nとなる自然数m,nは存在しないけれども
6*4+1=25は合成数だから4=6mn-m-nとなる自然数m,nは存在する
から4は4つの式で表せる数である
だから
質問の問題は、
k 以上の整数xに対して
6x+1
と
6x-1
のどちらも
2つの 6y±1 型の整数の積に分解できないようなxが存在するか?
という話です
質問の問題は、
k 以上の整数xに対して
6x+1と6x-1のどちらも素数(双子素数)となるようなxが存在するか?
という話です
質問の問題は、
双子素数が無数に存在するか
という話です
素数が無数に存在することは証明されているけれども
これに対し、双子素数が無数に存在するかという問題、
いわゆる「双子素数の予想」は、いまだに数学上の未解決問題である。
2020年7月現在で知られている最大の双子素数は、
2996863034895 × 2^1290000 ± 1
ありがとうございます。
6mn±m±n は非常にきれいな形に見えるので、これから何かうまいやり方があればと思ったのですが、難しそうですね。
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