早稲田大学過去問 複素数平面

考え方の途中まで

以下

z=cosA+isinA
w=cosB+isinB
と置くことにします．条件からsinA≠0，sinB≠0です．
このとき，
1+z+w=1+cosA+cosB+i(sinA+sinB)
であり，
|1+z+w|^2=(1+cosA+cosB)^2+(sinA+sinB)^2=1
より，
2+2cosA+2cosB+2cosAcosB+2sinAsinB=0
1+cosA+cosB+cos(A-B)=0
2(cos(A/2))^2+2cos(A/2)cos(B-A/2)=0
で，cos(A/2)=0またはcos(A/2)+cos(B-A/2)=0です．
前者の場合，sinA=2sin(A/2)cos(A/2)=0なので不適です．
後者の場合，2cos(B/2)cos((A-B)/2)=0で，cos(B/2)≠0（さっきと同じ議論）なのでcos((A-B)/2)=0であり，A-B=πよりz,wは単位円の対蹠点にあります．
ですからz+w=0です．

下問題
https://imgur.com/a/J3TWa0g

質問者からの補足コメント

• 

  先生、こんにちは
  
  ご回答ありがとうございます
  
  実は私も先生と同じ考え方をしました
  
  いかが？私のその答案です。
  
  
  ぜひともご指摘ください
  
  符号が1部間違っています。ご容赦ください。
  
  
  https://imgur.com/a/0eCuHjg

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/09/28 17:30

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/29 05:09

画像の通り

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/09/30 04:41

訂正

この回答へのお礼

教授、こんばんは
ご返信が遅くなりましたことお許しください

ご指摘ありがとうございました

今後もよろしくお願いいたします

お礼日時：2024/10/04 02:51

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/28 21:56

あなたの追加の解答について、

*を共役の意味にとると
（1＋ｚ＋ｗ)*＝1＋ｚ*＋ｗ*なので要注意。
(iｚ)*＝－iｚ*なのでこれと勘違いすることが多いらしい、
なので以下の式展開の各項の前の符号はすべて＋です。
したがって追加解答の３行目は
1/ｚ＋1/ｗ＋ｚ＋ｗ＋ｚ/ｗ＋ｗ/ｚ＝－2　以下
ｚ＋ｗ＋ｚｗ(ｚ＋ｗ)＋(ｚ＋ｗ)^2＝0
(ｚ＋ｗ)(1＋ｚｗ＋ｚ＋ｗ)＝(ｚ＋ｗ)(ｚ＋1)(ｗ＋1)＝0から
ｚ＋ｗ＝0　です。

ぼくもNo.1の解答ではこのようにしてました。
しかし最後にｚ＋ｗという因数をださなくてはいけないので
|1+z+w|^2の展開ではｚ＋ｗをひとまとめにして
1＋ｚ＋ｗ＋ｚ*＋ｗ*＋(ｚ＋ｗ)(ｚ*＋ｗ*)とｚ＋ｗの項を
そのまま残す方が因数分解しやすいと思う。つまり
ｚ＋ｗ＋ｚ*＋ｗ*＋(ｚ＋ｗ)(ｚ*＋ｗ*)＝0
ｚ＋ｗ＋1/ｚ＋1/ｗ＋(ｚ＋ｗ)(1/ｚ＋1/ｗ)＝0
ｚｗ(ｚ＋ｗ)＋ｚ＋ｗ＋(ｚ＋ｗ)(ｚ＋ｗ)＝0
という具合です。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/28 15:52

今気づいたんだけど

1＝|1+z+w|^2＝1＋ｚ＋ｗ＋ｚ*＋ｗ*＋(ｚ＋ｗ)(ｚ*＋ｗ*)
より（*は共役の意味）
0＝ｚ＋ｗ＋ｚ*＋ｗ*＋(ｚ＋ｗ)(ｚ*＋ｗ*)
両辺にｚｗをかけてｚｚ*＝ｗｗ*＝1より
0＝ｚｗ(ｚ＋ｗ)＋ｚ＋ｗ＋(ｚ＋ｗ)(ｚ＋ｗ)
　＝(ｚ＋ｗ)(ｚｗ＋1＋ｚ＋ｗ)＝(ｚ＋ｗ)(ｚ＋1)(ｗ＋1)
この方が簡単でした（汗）

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/28 11:37

う～ん、すごいなぁ!!

ぼくは
1＝|1+z+w|^2を展開してｚの共役やｗの共役を1/ｚ、1/ｗ
におきかえて計算して最後に
(z＋w)(z＋１)(ｗ＋1)＝0　がでてきたけど
疲れました（^^）

この回答へのお礼

質問で書いた回答は私のものではありません

何か考えたことを書かないと削除されてしまいますので

Yahoo!で着いた案をそのまま乗っけています


今回は私は先生と同じ考え方でした

安心しました。ありがとうございます。

お礼日時：2024/10/04 02:50