積分について

f(x)=x(0<=x<=1)、f(x)=2x-1(1<=x<=2)とする。0<=x<=2のときf(x)の面積を求めよ。

解答：
(x^2/2)[0->1]+(x^2-x)[1->2]=5/2と正しく求まりました。

質問：

最初はまとめて積分しようとして

∫[0->2]((k+1)x-k)dx=((k+1)*x^2/2-kx)[0->2]=2となってしまいました。

x=1で不連続だから間違っているんでしょうか。

質問ですが、これを1回の積分で求める方法はありますか？教えてください。

No.12 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/22 10:56

f(x)はx=1で不連続ではありません連続です

f(x)の原始関数をF(x)とすると

0≦x≦1のときF(x)=x^2/2
1≦x≦2のときF(x)=x^2-x

lim[x→1-0]F(x)=1/2
lim[x→1+0]F(x)=0

だから

f(x)の原始関数F(x)がx=1で不連続なのです

f(x)の原始関数F(x)を連続にするためには

0≦x≦1のときF(x)=x^2/2
1≦x≦2のときF(x)=x^2-x+1/2

とすればよい

[F(x)][0～2]=F(2)-F(0)=4-2+1/2=2+1/2=5/2

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/22 14:11

f(x)はx=1で不連続ではありません連続です

不連続なのはf(x)の原始関数なのだから
まず連続なf(x)の原始関数F(x)を求めなければいけません

f(x)=x(0<=x<=1)
f(x)=2x-1(1<=x<=2)

を不定積分すると

0≦x≦1のときF(x)=x^2/2+C1
1≦x≦2のときF(x)=x^2-x+C2

F(1)=1/2+C1=C2
だから
C1=0
C2=1/2
とすれば

0≦x≦1のときF(x)=x^2/2
1≦x≦2のときF(x)=x^2-x+1/2

だから

∫[0→2]((k+1)x-k)dx=((k+1)*x^2/2-kx+k/2)[0->2]=4-2+1/2=5/2

No.13 回答者： sc348253 回答日時： 2024/10/22 11:08

私も社会人ですが　理系の大学を卒業しましたが　数学科でもなく大1で数学はおわりましたが　きっと　貴方は文系でしょうか？　数学を暗記科目とおもっているのでしょうか？　理系であれば

∫[0->2]((k+1)x-k)dx=((k+1)*x^2/2-kx)[0->2]=2
がおかしいのはわかります　それは　
f(x)=x(0<=x<=1)、f(x)=2x-1(1<=x<=2)　の図形を描けばわかるからです　きっと　積分を理解しないで公式等を暗記的に勉強した結果と思います
確かに　x=1 で　同じ値で連続していますから公式に当てはめたのだと思います　でも　図形的に　貴方の回答の2式目の意味を理解しているとは思えないからです　実際に貴方が定義された図形を描いてください！　ですから
正しくは　N07の解かれたように　k の値がx=1を境に0から1に変化しているから答えが違ってくるのです　ですから　場合分けの式にせざるを得ないのです　ですから　積分というよりも　数学自体を暗記的ではなく　基本概念からやり直されて個々の概念等　公式も含めて　理解していくことが大切で今までの貴方がされてきた暗記型文科系数学のやり方等を忘れて　一から理系数学としてやり直すべきと思います。
　数学の問題を1つの回答がわかれば終わりではなく　もっと　bestな回答があるのではないか？　とか　センスある回答はないのか　意外な解法は？
とか　数学の神秘・面白さを知って頂きたいです！

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/22 10:42

f(x)はx=1で不連続ではありません連続です

f(x)の原始関数をF(x)とすると

0≦x≦1のときF(x)=x^2/2
1≦x≦2のときF(x)=x^2-x

lim[x→1-0]F(x)=1/2
lim[x→1+0]F(x)=0

だから

f(x)の原始関数F(x)がx=1で不連続なのです

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/22 08:57

＞ これを1回の積分で求める方法

これは、grue と bleen に関する質問なんだろうか？

「1回」でできるかどうかは、あなたが
その f(x) の不定積分をあらかじめ公式として知ってるかどうか
の問題になる。

私のように x と 2x-1 の不定積分を知ってるだけの凡百の人は、
その公式へ帰着することになるから、積分区間を分割せざるを得ない。
あなたは、それとは違う人種なのかもしれないが。

No.9 回答者： ハイアードピープル 回答日時： 2024/10/22 08:23

続き

床関数は整数の３点を除き、三角関数を用いた式に変換できはします。となれば、それが手計算で積分できるならば、いけるのでしょうかね。

詳しくは床関数と天井関数のウィキペディアを参照。

No.8 回答者： ハイアードピープル 回答日時： 2024/10/22 07:30

簡単に言えば、x=1の時点で被積分関数が変わるからです。

あなたが定義したkが、x=1の時点で変わるにも関わらず、0から2までの区間で、同じ定数として計算しています。

kは、あなたが数字を文字に置き換えただけで、定数であることに変わりないです。

１個の積分式にはできますよ。床関数 ⌊x⌋ を使います。ガウス記号とも言われます。

∫[0→2]（（ ⌊x⌋ +1)x- ⌊x⌋ )dx

ですね。ただ、使うならば床関数 ⌊x⌋ の定義も書かないといけません。

ちなみにx=1で不連続も誤りです。左から近づけても、右から近づけても1なので。x=1で微分不可能なら正しいですが。

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/22 06:30

∫[0->2]((k+1)x-k)dx

=((k+1)*x^2/2-kx)[0->1](k=0)+((k+1)*x^2/2-kx)[1->2](k=1)
=(x^2/2)[0->1]+(2x^2/2-x)[1->2]
=(1/2)+2
=5/2

No.6 回答者： アンドロメダシティ 回答日時： 2024/10/22 05:41

>> それはいったいどういう意味の立式なのですか？

>> 「k」とは何？
>> そして、そもそも「f(x)の面積」って何？
> この文はいったいどういう意味なんですか？教えてくれませんか？

　以下の２人があなたと趣味が合うと思いますので、何とか連絡を取って教えてもらってください。

https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math … フェルマーの最終定理の有名人
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13896555.html ローラン展開を冗談展開する有名人

No.5 回答者： そこらへんの物知りな人 回答日時： 2024/10/22 02:16

他の問題でどう役に立っているかとはどういうことでしょう？

質問の意図が分かりませんでした。