高校数学についてで、帰納法をたとえば数列で使うときにn=kとおいて、kで示したいものが成り立つと仮定

高校数学についてで、帰納法をたとえば数列で使うときにn=kとおいて、kで示したいものが成り立つと仮定してn=k+1の場合を証明するという部分があると思うのですがn=k+1についてを証明するときにn=kで成り立つと仮定したこの仮定は使っても良いですよね？

No.8 回答者： finalbento 回答日時： 2024/10/30 15:17

逆に「使ってはいけない(のでは?)」と考える理由が分かりません。

n=kで成り立つと言う仮定を使ってはいけないとしたらn=k+1の場合に成り立つ事を示す手立てがなくなるはずですし。

No.7 回答者： AっKI 回答日時： 2024/10/30 11:42

使ってもよい

ではなくて
『仮定を（必ず）使って示す』のです。
時折、仮定を使わずに示してしまう証明をみかけますが
それは数学的帰納法の証明として誤りです。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/10/29 12:07

kは任意でないと成り立ちません。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/10/27 19:16

例)

Σ[m=1～n]m=n(n+1)/2 の帰納法による証明

P(n)=[Σ[m=1～n]m=n(n+1)/2]
とする

P(1)=[Σ[m=1～1]m=1=1(1+1)/2]は真

ある自然数kに対してP(k)が真と仮定すると

Σ[m=1～k]m=k(k+1)/2

↓両辺にk+1を加えると

Σ[m=1～k]m+k+1=k+1+k(k+1)/2
Σ[m=1～k+1]m=(k+1)(k+2)/2
だから

P(k+1)=[Σ[m=1～k+1]m=(k+1)(k+2)/2]も真
だから
すべての自然数nに対してP(n)は真だから
すべての自然数nに対して
Σ[m=1～n]m=n(n+1)/2
が成り立つ

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/10/27 16:55

そうです。

それが、数学的帰納法というものです。

ここで勘違いしてはいけないのは、
n=k で成り立つと仮定したこの k は(値は不定だが)定数だということ。
初めて帰納法を教わった生徒がよくやる間違いとして、
k は任意だから k = K+1 を代入して... ってやつがありますからね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/10/27 15:07

はい。

例えば、n=1で成立っていれば、n=1では仮定では無く事実です。
n=kで成り立っていればn=k+1も成り立つなら
n=1で成り立つことを使ってn=2を証明できます。
同様に、n=3、4、5と無限に証明の連鎖が続きます。

何処か適当なkで成立することが事実なら、
仮定はドミノ倒しに事実に変わります。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2024/10/27 14:53

その通りです。

ある命題 P があるとします。
n=1 の時に P が成り立つ。
n=k の時 P が成り立つと仮定して、
n=k+1 の時 P が成立することに 矛盾が無ければ、
全ての自然数で 成り立つ事になりますから。

「この仮定は使っても良いですよね？」→　
使えないなら わざわざ「成り立つと仮定」する意味はないですよね。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/10/27 14:17

そーです　　　。