A 回答 (7件)
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No.7
- 回答日時:
いろいろあります
① ② は展開してからの方法
教科書に載っている方法
和分の考えによる方法
組み合わせの記号からの二項定理(ピタゴラスの三角形)からの方法
①=1+1+.........+1=n は1がn個あるから
②=1+2+3+.......+(n-1)+n
第1項と第n項を足せば 1+n
第2項と第n-1項を足しても 2+(n-1)=n+1
..........................................................
そして n+1 がn個あるが その半分が合計なので
=(n+1)n/2
教科書では
(n+1)^2 -n^2=2n+1
nを1から順に入れていけば 打消しあって
2^2 -1 =2*1+1
3^2 -2^2=2*2+1
..........................
(n+1)^2 - n^2=2*n+1
合計すれば
(n+1)^2 -1=2 Σk;1→n k +Σk;1→n 1=2 Σk;1→n k +n
∴2 Σk;1→n k =(n+1)^2 -1 -n=n^2 +n=n(n+1)
∴Σk;1→n k =n(n+1)/2
③はΣ[k=1からnまで]k^2 の間違いで 教科書では
同じく恒等式
(n+1)^3 -n^3 =3n^2 +3n+1 からになっている!
他には 和分の考えで 両辺にΣをつけて
①は (n+1) - n = 1
②は {n(n+1) - (n-1)n }/2 = n で上記の同じように打ち消しあってできる!
③は n(n+1)=n(n+1)(1/3) 3 =(1/3)n(n+1){(n+2) - (n-1)}
と変形すれば 打ち消しあって求まる
最後は 上記の式から二項定理(ピタゴラスの三角形)が連想できるよね
https://examist.jp/mathematics/expression-proof/ …
n+1 C r =n C r + n C r-1 を利用してもできるので やってみてね!
No.6
- 回答日時:
・Σ[k=1からnまで]1=n・・・・・①
は自明ですね。どうしても、証明したいなら(誰もしませんが)、数学的帰納法によります。たとえば、和をS(n)として、n=1の時は自明。S(k)=kを仮定し、
S(k+1)=S(k+1)+1=k+1なので、証終。
・Σ[k=1からnまで]k=1/2n(n+1)
#5さんのように、
(k+1)²-k²=2k+1 の両辺に和をとり、求める和をS₂(n)とすれば
①の結果を使い、Σ[k=1~n] (k+1)²-Σ[k=1~n] k²=Σ[k=1~n] (2k+1)
→ (n+1)²-1²=2S₂(n)+n
→ S₂(n)=n(n+1)/2・・・・②
ここで、
Σ[k=1~n] (k+1)²-Σ[k=1~n] k²=(n+1)²-1²
となることも、自明ですが、厳密にしたいなら数学的帰納法(同様に誰もしないが)。
一般に
Σ[k=1~n] k^m
の和を求めるには、上の結果を順次使って、解いていきます。
https://manabitimes.jp/math/645
なお、②についてはガウスが小学生の時に解いた方法が有名です。
2S= (1+2+・・・+(n-1)+n)
+(n+(n-1)+・・・+2+1)
=(n+1)+(n+1)+・・・+(n+1)=n(n+1)
https://small-is-beautiful.net/genious-boy-gauss/
No.5
- 回答日時:
Σ[k=1からnまで] k^k = 1/6n(n+1)(2n+1) ではないなあ。
Σ[k=1からnまで] k^2 = (1/6)n(n+1)(2n+1) です。
その辺の式は、 まず、 n^m - (n-1)^m = Fm(n) と置くと
Fm(n) が n の m-1 次多項式になることを確認して、 k^m が
k^m = (c_{m-1})F{m-1}(k) + (c_{m-2})F{m-2}(k) + ... + (c_2)F2(k) + (c_1)F1(k)
と表せるような c_j を見つければ、
Σ[k=1からnまで] k^m = (c_{m-1})n^(m-1) + (c_{m-2})n^(m-2) + ... + (c_2)n + (c_1)
と求められます。
各 c_j の値は、 n^j - (n-1)^j, j=1,2,...,m-1 をそれぞれ展開して
必要な多項式 F{m-1}(k), F{m-2}(k), ..., F2(k), F1(k) が全て求めてあれば、
c_{m-1} → c_1 の順に順次決めてゆくことができます。
No.3
- 回答日時:
ココで 逐一書くと 長くなるので、
下記等を 参考にしてください。
https://valueset3.com/arithmetic-progressions-sum/
https://mathwords.net/sigmaknijou
後は 適当なキーワードで、ネット検索してみて。
尚、「 Σ[k=1からnまで]k^k=1/6n(n+1)(2n+1) 」は、
「 Σ[k=1からnまで]k²=1/6n(n+1)(2n+1) 」ですね。
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