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No.1ベストアンサー
- 回答日時:
>(1)sinxを置換する方法
>(2)t=tan(x/2)と置換して、cosx,sinxをtで置く方法
どっちの方法でもなくてもいいんですかね^^;
1/(a+btanx)=cosx/(acosx+bsinx)=cosx/Asin(x+α)
と変形します。
ここで、A=√(a^2+b^2)で、αはsinα=a/A,cosα=b/Aで決まる定数です。
θ=x+αで置換すると、
∫1/(a+btanx)dx
=∫cos(θ-α)/Asinθ dθ
=∫{cosαcotθ+sinα}/Adθ (※念のため、cotθ:=cosθ/sinθです)
のようになりますが、
cotθが含まれる第一項は、sinθ=tなどで置換すれば、不定積分が求まります。
第二項は、単なる定数なので、積分が簡単に積分できます。
(上のやつは、計算間違いしているかもしれませんが、こんな流れで不定積分が求まるはずです)
あと、誤植かもしれませんが、
>(ax+log|acosx+bsinx|)/a^2+b^2となることは
ちょっとだけ違うようです。
eatern27さん.ありがとうございます.
しかしわからないところがあります.
∫{cosαcotθ+sinα}/Adθ の積分は,
θに対する積分なので,cosαなどの項は
前に出してもよいのでしょうか?
それともcosαcotθ=cos^2θ/sinθとして
計算すべきなのでしょうか?
お礼と同時の質問になってしまいましたが,
よろしくお願いいたします.
No.2
- 回答日時:
>∫{cosαcotθ+sinα}/Adθ の積分は,
>θに対する積分なので,cosαなどの項は
>前に出してもよいのでしょうか?
積分の外に出す事が出来ます。
>ここで、A=√(a^2+b^2)で、αはsinα=a/A,cosα=b/Aで決まる定数です。
と、#1にも書きましたが、αは、(aとbだけで決まる)定数です。
従って、cosα等は(θには依存しない)定数です。定数は積分の外に出す事が出来ましたよね。
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