n次元ベクトルの外積の定義

ｎ次元ベクトルの外積の定義はどういうものなのでしょうか？
そもそもできるのでしょうか？外積は３次元特有のものでしょうか？

例えば、n次元ベクトルの内積は、例えば
(a1,a2,.....,an)・(b1,b2,.......,bn)
=a1*b1+a2*b2+......+an*bn
と定義できると思っています。

こういう感じでn次元ベクトルの外積は定義できますか？
ご教授ください。

No.1 回答者： hitomura 回答日時： 2002/01/05 21:09

参考URLの先頭に書かれている

「ここでは外積の応用を3次元空間に限ります．他の空間には外積のやさしい一般化がないのです． 」
を信用すると、
「３次元ベクトル空間以外でも定義できることはできる、が、非常にややこしい」
ようです。

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/se …

この回答へのお礼

ありがとうございます。確かに３次元での外積をそのまま拡張はできずに、複雑になることは、覚悟しています。

お礼日時：2002/01/06 00:32

No.2 回答者： starflora 回答日時： 2002/01/05 21:22

　

　　はたしてこれが、ｎ次元空間の「外積」の定義になるのかどうか分かりませんが、三次元での外積を延長して考えてみることはできます。
　
　　直感的なイメージでは、ｎ次元空間のなかの独立したｎ－１個のヴェクトルが構成する「超菱形超立体」の超体積をスカラー量として、その大きさとし、ｎ－１個のヴェクトルの張る空間に独立な、つまり直交するヴェクトルで、先のスカラー量の長さを持つヴェクトル・プロダクトが、ｎ次元の外積になるのではないでしょうか。この場合、三次元のような意味の右手系とか左手系はありませんが、しかし、ｎ－１次のヴェクトルについて、外積計算プロダクトの手順で、順序付けが行えるはずで、ここから、鏡像反転によって二つの値を取るヴェクトルの二つの方向が出てきます（つまり、ｎ次元でも、右手系と左手系が定義できるのです）。どちらかを指定できるということです。
　
　　行列式で表現すると、わたしの記憶間違いでなければ、三次元での外積は、少し変則的な表現ですが、三次の正方行列を考え、その第一行に、ヴェクトルＡの成分を入れ、第二行に、ヴェクトルＢの成分を入れ、第三行には、独立単位ヴェクトルｉ，ｊ，ｋを入れて、これで行列式を計算すると、ｉ，ｊ成分はゼロ、そしてｋ成分が外積のスカラー量、つまりヴェクトルの大きさとなり、ｋが、そのヴェクトルの方向です。ＡとＢは、ｉ，ｊが張る空間に載る訳で、従って、Ａ，Ｂ共に、ｋに当たる第三列成分はゼロのはずです。式で書くと、Ａ（a1,a2,0），Ｂ（b1,b2,0）で、ｋヴェクトルの大きさは、（a1b2-a2b1）となります。ここで、Ａ，Ｂという風にヴェクトルを第何列にいれるかで、一意的に、ｋの正負が決まってきます。ｉ→ｊ→ｋという風に右手系が定義されます。
　
　　ｎ次元の場合、ｎ次の正方行列を考え、この行列式を考えるのです。第一行にヴェクトルＡ1、第二行にＡ2……と入れて行きます。単位ヴェクトルｕ(i)は、i＝ｎの時、すべての成分が、この第ｎ列でゼロになるように定義します。
　
　　こうすると、まさに、ヴェクトルＡ(i)の順序で、右手系か左手系が、ｎ次元で定義されます。また、ｕ(n)の上の要素つまり、第ｎ列要素が、すべてのヴェクトルでゼロであることが、まさに、それらのヴェクトルの張る空間と、単位ヴェクトルｕ(n)が独立であることを意味するので、この行列式は、ｕ(n)以外の単位ヴェクトルの成分が結果的にすべてゼロになり（なぜなら、ｎ列要素がすべてゼロなので、行列式の定義から云って、ｕ(n)以外の単位ヴェクトルの成分はゼロになるのです。また、方向付けも、Ａ(i)というヴェクトルの並べ方で、一意的に決まってきます。
　
　　これで、ｎ次元のヴェクトルの「外積」の定義になると思うのですが、この用語は、もっと別の数学的概念を表現するのに使われているかも知れません。
　

この回答へのお礼

ありがとうございます。starfloraさんは、いろいろなことをご存知で凄いですね。ポイント成績いつもトップクラスですし。
starfloraさんの幾何学的なイメージは、わかりやすく、とっても気にいりました。たぶん、同じベクトル空間内で演算を閉じようとするとこうなるのでしょうね。「外積」ってやはりこういうイメージですよね。数学的には、starfloraさんのおっしゃっていることは、「純r-ベクトル」というものの特殊な場合になるようです。が、外積のイメージに近いですよね。

お礼日時：2002/01/06 00:40

No.3 回答者： adept 回答日時： 2002/01/05 21:33

Theory and Problems of Linear Algebra (3rd) (McGrowHill)

という教科書によれば、

There is a special operation for vectors u and v in R^3 that is not defined in R^n for n!=3.

ということで、３次元以外での一般的な定義はないそうです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。「a special operation」の具体的な演算式が、そのご本でどう書かれているのか、わかるとありがたいのですが。
確かに、３次元は「特殊」という気はしますが。

お礼日時：2002/01/06 00:44

No.4 回答者： siegmund 回答日時： 2002/01/05 22:08

昔，フェルミオン系の経路積分の勉強をしたときに，

グラスマン代数(＝外積代数？)や微分形式をちょこっとかじりました．
途中で挫折した上にもう記憶が定かでありません．

3次元ベクトル間の外積はよく知られているように
ベクトル（すなわち１階のテンソル）で，
A×B=(A[2]B[3]-A[3]B[2]，A[3]B[1]-A[1]B[3]，A[1]B[2]-A[2]B[1])
です．
A[1] はベクトル A の第１成分．
これは基本反対称テンソルεを使って
(A×B)[i]=Σε[i，p，q] A[p] B[q]
と書けます．Σはよくやるように，p，q についての和．

この方式で拡張するのだったと思います．
２次元なら，結果は０階のテンソル，すなわちスカラーで
(A×B) = A[1]B[2] - A[2]B[1]

４次元だと，結果は２階のテンソルで
(A×B)[i，j]=Σε[i，j，p，q] A[p] B[q]
で，成分表示すれば
A×B=
　　┌　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┐
　　│　0，A[4]B[3]-A[3]B[4]，A[2]B[4]-A[4]B[2]，A[3]B[2]-A[2]B[3]　│
　　│　A[3]B[4]-A[4]B[3]，0，A[4]B[1]-A[1]B[4]，A[1]B[3]-A[3]B[1]　│
　　│　A[4]B[2]-A[2]B[4]，A[1]B[4]-A[4]B[2]，0，A[2]B[1]-A[1]B[2]　│
　　│　A[2]B[3]-A[3]B[2]，A[3]B[1]-A[1]B[3]，A[1]B[2]-A[2]B[1]，0　│
　　└　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┘
のようですね(計算大丈夫かな，テンソル演算はよく間違うので)．

以下同様で，ｎ次元ベクトル同士の外積は n-2 階のテンソルです．

上の話でＯＫなら，３次元だけが特別です．
すなわち，３次元の時だけ外積演算結果がまたそのベクトル空間の要素になっています．
adept さんの引用された記述はそういう意味でしょうか．

余り自信がありません，数学のプロの方，よろしくお願いします．

この回答へのお礼

ありがとうございます。そういえば、フェルミオンの経路積分でグラスマン代数なんていうのが、ありましたね。微分形式も、そのからみでありましたし。微分形式自体は、一般相対性理論を勉強したときに勉強した記憶があります。そういえば、
外積みたいなのを、基本反対称テンソル、なんかレビ＝チビタテンソルとかいうの（ε）を使って定義していました。アインシュタインの略記とかいってサンメーション略していましたっけ。（なんか思い出話になって申し訳ない。）
そうですね、このこの式を高次元に拡張すればよいわけですね。なるほど、代数的には非常に自然な感じがします。こう考えると、なるほど３次元だけが、おなじベクトル空間内で演算が閉じていることがわかりますね。このテンソルの「行」かなにかを取り出してくると、starfloraさんのベクトルになるような気がしますが。
siegmundさんの回答もよく拝見しますが、いろいろご存知で凄いですね。

お礼日時：2002/01/06 00:58

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2002/01/06 03:18

No.4のコメントでchukanshiさんが仰るとおり、starfloraさんの方法とsiegmund先生の方法は結局同じ事です。

例えば４次元の場合、starfloraさんの方法で
３行目を<1 0 0 0>４行目を<1 0 0 0>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<1 0 0 0>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<1 0 0 0>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<1 0 0 0>としたもの
が、siegmund先生の二階テンソルの１行目の行ベクトルの成分を表しています。
同様に
３行目を<1 0 0 0>４行目を<0 1 0 0>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<0 1 0 0>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<0 1 0 0>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<0 1 0 0>としたもの
がテンソルの２行目の行ベクトル、
３行目を<1 0 0 0>４行目を<0 0 1 0>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<0 0 1 0>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<0 0 1 0>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<0 0 1 0>としたもの
がテンソルの3行目の行ベクトル、
３行目を<1 0 0 0>４行目を<0 0 0 1>としたもの
３行目を<0 1 0 0>４行目を<0 0 0 1>としたもの
３行目を<0 0 1 0>４行目を<0 0 0 1>としたもの
３行目を<0 0 0 1>４行目を<0 0 0 1>としたもの
がテンソルの4行目の行ベクトルです。

　同様にn次元の場合にも、(n-2)階テンソルのn^(n-2)個の要素がシステマティックに得られる（検算して確かめてはいません）。

この回答へのお礼

ありがとうございます。starfloraさんが、幾何学的（＋ベクトル空間内で演算を閉じさせる）アプローチ、siegmund先生が代数的アプローチをお取りになったということで、結果的には同じことになりそうですね。

お礼日時：2002/01/06 08:19

No.6 回答者： oodaiko 回答日時： 2002/01/06 06:30

なんだかsiegmund先生に呼ばれたような気がした数学屋のoodaikoです。

内積の一般化については chukanshi さんの定義の通りです。
一方「外積」と「ベクトル積」は３次元では同じものになりますが、一般次元では異なったものになります。
詳しいことは後ほど書きますので、まだ閉じないで下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。oodaikoさんのご登場を密かに期待しておりました。よろしくご指導お願い申し上げます。m(_ _)m
実は、「外積」と「ベクトル積」をちゃんと意識的に区別しないで質問してしまったので、申し訳ないです。そのへんが「わかっていない」証拠なのです。

お礼日時：2002/01/06 08:14

No.7 ベストアンサー 回答者： oodaiko 回答日時： 2002/01/07 22:53

oodaikoです。

おまたせしました。

最初にお断りしておきます。一般の体Ｋ上で定義されたベクトル空間でも「テンソル」や「外積」に関する以下の話は同じように展開出来ます（いわゆる「外積代数」とか「グラスマン代数」とかいうやつ。）が、まあ話がわかりにくくなるだけだし、実用的には係数体としてＲを使うことがほとんどなので、以下ではベクトル空間と言ったら、実数体Ｒ上の有限次元ベクトル空間Ｒ^nに限定して考えることにします。（それに以下で説明する「ベクトル積」の方は一般のベクトル空間ではなくＲ^nの場合に限って定義される特殊な演算なので、その意味でもＲ^nを考える必要がある）
もう一つお断りしておきます。以下で使う「テンソル」と言う言葉は、物理での「空間のひづみ」や「応力」の表現方法といったものよりもっと数学的に抽象化された概念です。たとえば物理での「力のベクトル」と数学での「体Ｋ上のベクトル空間」くらい違うものだと思って下さい。以下で使う「テンソル」はむしろ代数的なものです。添字地獄の物理テンソルを考えるより、数学的にはすっきりした議論になります。（とはいってもけっこうややこしいが）

●概要
２つのベクトルu,vの「外積」と「ベクトル積」はＲ^3においては同一のもの（uとvに対応して決まる３次元空間のベクトル）を表しているので、物理やベクトル解析の教科書では特に２つの言葉を特に区別せずに使っているのですが、これは本来別々の概念であり、実際４次元以上の空間では異なったものを表します。
大雑把に言えば、「ベクトル積」は文字通り「ベクトル」同士の積なのですが、「外積」の方は本来「テンソル」もっと詳しく言えばその中でも特殊な「交代テンソル」同士の積として定義されているものです。従って「外積」の結果は通常は「交代テンソル」となります。
Ｒ^nの「ベクトル」も「Ｒ^n上の1階の交代テンソル」と見なせるので当然それら同士の「外積」は定義できますが、その結果は「Ｒ^n上の2階の交代テンソル」となります。ところで「Ｒ^n上のk階の交代テンソル」も自然な方法で和とスカラー倍を定義することにより、Ｒ上のベクトル空間と見なせるので「次元」が定義できます。そして一般には「Ｒ^n上の2階の交代テンソル」のベクトル空間としての次元はnより大きくなります。
３次元でも「ベクトル＝Ｒ^3上の1階の交代テンソル」の「外積」は「Ｒ^3上の2階の交代テンソル」になるのですが、「Ｒ^3上の2階の交代テンソル」はベクトル空間としてたまたま３次元になるため、３次元の場合はそれをＲ^3の「ベクトル」と同一視してしまうことが可能になるのです。そういう意味で「ベクトルの外積」は３次元の場合しか定義できない。と言ってもよいでしょう。

さて能書きが長くなりましたが「ベクトル積」と「外積」を簡単に解説してみます。

●ベクトル積
まず「ベクトル積」ですが、これはn次元ユークリッド空間のn-1個のベクトルに対して定義される「積」です。

まずＲ^nのn-1個のベクトルv_1,…,v_{n-1} に対し、Ｒ^nからＲへの写像ψを次のように定めます。
ψ(x)= det|v_1 v_2 … v_{n-1} x|　　　 (x∈Ｒ^n）
この定義でdet|v_1 v_2 … v_{n-1} x| はv_1,…,v_{n-1},xを列ベクトル（行ベクトルとしても同じですが）とする行列の行列式です。
これは明らかに線形写像なのでψはＲ^nの双対空間(Ｒ^n)^*の要素です。ところがご存知のように(Ｒ^n)^*の任意の要素はＲ^nのある要素と一対一に対応し、写像は内積で表現できますから、 Ｒ^nのあるベクトルwが存在し、任意のx∈Ｒ^nに対して
<w,x>=ψ(x)= det|v_1 v_2 … v_{n-1} x|　
と書けることになります。

この方法で、Ｒ^nのn-1個のベクトルの組｛v_1,…,v_{n-1}｝に対しＲ^nのあるベクトルwを一意的に対応させることが出来ます。そしてこのwをv_1,…,v_{n-1}の「ベクトル積」と呼び、v_1×…×v_{n-1}と書きます。
この積が線形性および交代性を持っていること、およびv_1,…,v_{n-1}のすべてに直交していることは定義からほとんど明らかですね。

３次元の場合はこの定義が普通の教科書に載っている「ベクトル積」の定義に一致することはすぐ確かめられます。４次元の場合は行列の余因子展開を使って
(a[1],a[2],a[3],a[4])×(b[1],b[2],b[3],b[4])×(c[1],c[2],c[3],c[4])＝
　
┌───────────┐
　　｜a[2],a[3],a[4]｜　
　－｜b[2],b[3],b[4]｜　
　　｜c[2],c[3],c[4]｜　

　　｜a[1],a[3],a[4]｜　
　　｜b[1],b[3],b[4]｜　
　　｜c[1],c[3],c[4]｜　

　　｜a[1],a[2],a[4]｜　
　－｜b[1],b[2],b[4]｜　
　　｜c[1],c[2],c[4]｜　

　　｜a[1],a[2],a[3]｜　
　　｜b[1],b[2],b[3]｜
　　｜c[1],c[2],c[3]｜
└───────────┘　　　　
となることがわかります。（横に書くとぐちゃぐちゃになるので縦ベクトルの形で書きました）

starfloraさんの回答はおそらくこれのことを言っているのだと思います。
v_1×…×v_{n-1}がv_1,…,v_{n-1}に直交すること、積の順序により右手系と左手系が定義できることについてはまさにそのとおりです。v_1×…×v_{n-1}の長さがv_1,…,v_{n-1}の張るＲ^nの「超菱形超立体」の「超面積」になっていることも多分そうだと思います。（starfloraさんは「超体積」と書いていますが、Ｒ^nでn-1個のベクトルが張る図形、つまりn-1次元の図形の測度ですから、イメージ的には「面積」と呼ぶ方が良いと思います。もちろん厳密に言うなら「n-1次元ルベーグ測度」と呼ぶべきですが）

もちろんＲ^3以外では２つのベクトルに対して「ベクトル積」を定義することは出来ません。
ところで私が今この文章を書くためのカンニングペーパーとして使っている本（『多変数解析学-古典理論への現代的アプローチ-』(M.D.スピヴァック著,斎藤正彦訳)東京図書(1972)）によれば
『普通、数学では３個以上のものの「積」を考えることは少ない。３次元のときだけ、これは２つのベクトルに対して第３のベクトルが対応することになって「積」らしくなる。この理由で、「ベクトル積」は３次元の場合に限って定義できる、と見なすことも多い』
ということなので、adeptさんの回答にある教科書の著者はおそらく「ベクトル積」のことを言っているのだと思います。
（uとvに対して、すなわち「２つの」ベクトルに対して、は３次元以外では定義されないと言っているのですから）


次は「外積」です。もうちょっとお待ち下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます！m(_ _)m。大学時代以来、ずーっとわからなかったことがわかりつつあり、何年ぶりかの知的感激に、浸りつつあります。（数学の本を読んでもよくわからなかったし、まわりの人間に訊いてもちゃんと答えられる人がいなかった。）わかりやすい解説で本当に助かります。（数学の本もこういう風に書かれていればよいのですが。）つづきをお待ちしておりますので、何卒よろしくご指導お願い申し上げます。

お礼日時：2002/01/07 23:57

No.8 回答者： oodaiko 回答日時： 2002/01/08 17:11

外積のことを詳しく書いていると、テンソル代数の教科書を書くようなはめになってしまうので、証明などは飛ばしていきます。

それでも準備だけでずいぶん長くなってしまったので、まだ途中ですがアップします。
より詳しく知りたければ先に挙げた本（スピヴァックの『多変数解析学』）などを御覧下さい。

●外積

（１）テンソル
まず「Ｒ^n上のk階テンソル」（kは自然数）と言うものを定義します。

Ｒ^nのk個のベクトルに対してＲの要素を対応させる写像で、かつ各変数について線形であるようなもの（多重線形という）を「Ｒ^n上のk階テンソル」と呼びます。

もう少し数学的にきちんと定義しておくと、関数Ｔ:(Ｒ^n)^k → Ｒ であって、任意のi（1≦i≦k)、およびa,b∈Ｒに対して

Ｔ(u_1,…,u_{i-1},a u_i + b v_i,u_{i+1},…,u_k)＝
a Ｔ(u_1,…,u_{i-1},u_i,u_{i+1},…,u_k)＋b Ｔ(u_1,…,u_{i-1},v_i,u_{i+1},…,u_k)

という条件を満たすものを「Ｒ^n上のk階テンソル」と呼びます。また便宜上実数は0階のテンソルと定義します。（もちろん0階のテンソルは引数を持ちませんから「Ｒ^n上の」という修飾語は必要ありません）
「Ｒ^n上のk階テンソル」全体の集合をＴ^k（Ｒ^n）と書いておきます。

さて、任意のＳ,Ｔ∈Ｔ^k（Ｒ^n）およびa,b∈Ｒに対して、和とスカラー倍を

(aＳ+bＴ)(u_1,…,u_k)＝aＳ(u_1,…,u_k)＋bＴ(u_1,…,u_k)

と定義すると、明らかにaＳ+bＴ∈Ｔ^k（Ｒ^n）です。そこでＴ^k（Ｒ^n）は体Ｒ上のベクトル空間と見なせます。零元は、すべての引数の組に対し0を対応させるようなk階テンソルです。


（２）テンソル積
次に、重要な演算として「テンソル積」というものを定義します。
Ｓ∈Ｔ^k（Ｒ^n）、Ｔ∈Ｔ^l（Ｒ^n）とします。ＳとＴに対し「Ｒ^n上のk+l階テンソル」Ｓ※Ｔを次のように定義します。

Ｓ※Ｔ(u_1,…,u_k,u_{k+1},…,u_{k+l})＝Ｓ(u_1,…,u_k)・Ｔ(u_{k+1},…,u_{k+l})

このＳ※Ｔ∈Ｔ^{k+l}（Ｒ^n）をＳとＴの「テンソル積」と呼びます。ちなみに数学の本では一般的にテンソル積の記号として○の中に×を書いたものを使います。

テンソル積は非可換であること、すなわちＳ※Ｔ≠Ｔ※Ｓであることに注意しておいて下さい。またＳ,Ｓ_1,Ｓ_2∈Ｔ^k（Ｒ^n）,Ｔ,Ｔ_1,Ｔ_2∈Ｔ^l（Ｒ^n）,Ｕ∈Ｔ^m（Ｒ^n）,a∈Ｒとすると
Ｓ※（Ｔ_1＋Ｔ_2）＝Ｓ※Ｔ_1 ＋ Ｓ※Ｔ_2
(Ｓ_1＋Ｓ_2）※Ｔ＝Ｓ_1※Ｔ ＋ Ｓ_2※Ｔ
(aＳ)※Ｔ＝Ｓ※(aＴ)＝a(Ｓ※Ｔ)
(Ｓ※Ｔ)※Ｕ＝Ｓ※(Ｔ※Ｕ)
等の等式が成り立つのはすぐわかりますね。

和の場合はＳ＋Ｔが定義できるのはk＝lのときだけですが、テンソル積はk≠lでも定義できることが重要です。

さて注意を一つ。テンソルの引数になるベクトル空間の次元nとテンソルの階数kとの間に直接的な関係はありません。「テンソル積」を使えばいくらでも大きなkに対するＴ^k（Ｒ^n）の要素が作れます。しかし実際に（および以後の話でも）重要なのはk=0,1,2,nの場合くらいです。k＞nの場合なんてまず使わないと思います。（物理や工学のことは知りませんが）


（３）テンソルの例
抽象度が高いが役に立つ数学的概念は、（物理や数学等の）豊富な具体例を元に、それらを統一して包括的に議論できるよう構築されたものです。
「テンソル」もそういうものですが、そこに包括されているもののイメージをつかみやすいように、いくつかの具体例を挙げておきます。

Ｒ^nの「ベクトル」は双対空間の要素と同一視されますから、それ自身Ｒ^nからＲへの線形写像と見なすことが出来ます。すなわちＲ^nの「ベクトル」は「Ｒ^n上の1階テンソル」と見なすことが出来ます。
「n次正方行列」は、これをＲ^nの双線形形式の表現と考えれば「Ｒ^n上の2階テンソル」と見なすことが出来ます。特に単位行列を考えることにより、「Ｒ^nの内積」も「Ｒ^n上の2階テンソル」であることがわかります。
「n次行列式」これはすぐわかるように「Ｒ^n上のn階テンソル」ですね。

私は物理には詳しくないので、恥を書くことを承知で物理的な「テンソル」の例も挙げておきます。物理に詳しい方のツッコミをお願いします。

「応力」はＲ^3上の3階のテンソルです（6階でしたっけ。だとするとこれはk＞nの例ですね）。イメージとしては引数として各方向からの力（ベクトル量）をとり、それらを合成した「効果」（もちろんベクトル的な合成とは違う意味）を実数値で表現するための関数、というところかな。
「モーメント」これが今問題にしている「３次元でのベクトルの外積」として表現されるＲ^3上の2階のテンソルです。イメージとしては応力と同様で、力および力点の位置という２つのベクトル量に対し、それらの「効果」を表現するための関数、というところですね。他にも「渦度」のように「軸性ベクトル」として表現される量も同様なものですね。


（４）Ｔ^k（Ｒ^n）の基底と次元
先に書いたようにＴ^k（Ｒ^n）はＲ上のベクトル空間になるので次元が定義できます。また通常のベクトル空間と同様に標準基底も定めておくと便利です。

e_1,…,e_nをＲ^nの標準基底とし、f_1,…,f_nをその双対基底とします。すなわちf_i(e_j)=δ_{ij}（δ_{ij}はクロネッカーのデルタ）です。f_1,…,f_nはもちろんＴ^1（Ｒ^n）の要素です。
f_1,…,f_nから任意のk個の要素f_{i_1},…,f_{i_k}（1≦i_1,…,i_k≦n）を取り、そのテンソル積
f_{i_1}※…※f_{i_k}
を作ります。これは当然Ｔ^k（Ｒ^n）の要素です。そしてこのようなＴ^k（Ｒ^n）の元全体がＴ^k（Ｒ^n）の基底になります。従ってＴ^k（Ｒ^n）はn^k次元になります。


（５）交代テンソル
さて「外積」を考える上で重要なのが「交代テンソル」という特殊なテンソルです。文字通り「交代性」を持つテンソルです。（「交代」の代わりに「反対称」と呼ばれることもあります）

「交代テンソル」を定義します。
Ｔ∈Ｔ^k（Ｒ^n）であって、任意のu_1,…,u_k∈Ｒ^n とi≠jに対し
Ｔ(u_1,…,u_i,…,u_j,…,u_k)＝－Ｔ(u_1,…,u_j,…,u_i,…,u_k)
を満たすようなものを「Ｒ^n上のk階交代テンソル」と呼びます。n次行列式は「Ｒ^n上のn階交代テンソル」であることは明らかですね。（実際「交代テンソル」と言う概念は「行列式」の一種の一般化です）
また、1階のテンソルはすべて交代テンソルです。すなわち「Ｒ^nのベクトル」は「Ｒ^n上の1階交代テンソル」です。

ところで一般のテンソルの場合はk＞nでも定義でき、かつ実質的な意味も持ち得ますが、交代テンソルはk≦nの時しか実質的な意味を持ちません。k＞nの場合、Ｔ^k（Ｒ^n）の要素が交代テンソルになるとすればそれは０だからです。
これは引数のベクトルを基底表示して、交代テンソルを基底の組に対するものに分解してみるとわかります。

「Ｒ^n上のk階交代テンソル全体の集合」はベクトル空間として「Ｒ^n上のk階テンソル全体の集合」の線形部分空間になっていることは明らかですね。そこで「Ｒ^n上のk階交代テンソル全体の集合」をΩ^k（Ｒ^n）と書いておきます。Ω^k（Ｒ^n）のベクトル空間としての次元が、今問題にしている「外積の一般化」に本質的に関わってきます。


（６）交代化
一般のテンソルＴ∈Ｔ^k（Ｒ^n）（k≧2）はもちろん交代的とは限りませんが、Ｔから交代テンソルＡ(Ｔ）∈Ω^k（Ｒ^n）を作ることが出来ます。このＡ(Ｔ)をＴの「交代化」と言います。それは次のように定義します。

Ａ(Ｔ)(u_1,…,u_k)＝(1/k!)Σ_{σ∈S_k} sgnσ・Ｔ(u_{σ(1)},…,u_{σ(k)})
ただしS_kは{1,…,k}の置換全体。sgnσは置換σの符号（すなわちσが偶置換なら+1,奇置換なら-1）

なんだかややこしい定義ですが、もともと交代テンソルというのは行列式の一般化だけに、行列式の定義を思い出してもらえばそれの類推であることがわかるでしょう。

「交代化」も線形写像であることに注意して下さい。すなわちＳ,Ｔ∈Ｔ^k（Ｒ^n）およびa,b∈Ｒに対して
Ａ(aＳ＋bＴ)＝a Ａ(Ｓ) ＋ b Ａ(Ｔ)
となります。


さて次でいよいよ「外積」を定義します。じらしてすみません。

この回答へのお礼

本当にご親切に教えていただき、ありがとうございます。m(_ _)m。なんとかついていています。こういう本当にエッセンスだけ抜き出していただくと非常に理解しやすいです。数学の本で、定理証明の繰り返しだと、木を見て森を見ずという感じに陥ってしまい、混乱します。こうやって、oodaiko先生のエッセンスを読んで、さらに詳しく知りたくなったら、専門書をもう一度読みなおしてみようと思います。そのときは、大局がみえているので、少し楽になると思っています。本当に力作ありがとうございます。つづきを楽しみにしております。よろしくご指導お願い申し上げます。

お礼日時：2002/01/09 02:35

No.9 回答者： siegmund 回答日時： 2002/01/09 01:26

siegmund です．

oodaiko さん，
身の程知らずの私の穴だらけ回答のフォローをたびたびしていただきまして
大変感謝しています．
すごい力作ですね．
がんばって読ませていただきます．
でも，これは難しい(^^;)．
こんなこと言っている私が物理数学など担当することもあるのだけど，
本当に大丈夫なのかな？

> 物理に詳しい方のツッコミをお願いします。

どきっ．口頭試問に呼ばれたような気がした(^^;)．

> 「応力」はＲ^3上の3階のテンソルです（6階でしたっけ。)

Ｒ^3 上の２階のテンソルですね．
応力は，(a)どの向きの面を通して，(b)どの方向に力が働く，
の２要素が必要です．
(a)の「どの向きの面」は法線で指定できますから，
p(xy) を y 軸に垂直な面(すなわち xz 平面)を通して，x 軸方向に働く力，
とすると，３行３列の行列で表現できますから２階のテンソル
ｐ = (p_{ij}) ですね．x,y,z の代わりに 1,2,3 と書きました．
似たような事情で，歪みテンソル
ｅ = (e_{ij})
が定義できます．
ばねの力 F と伸び(or 縮み) x が比例する(F = -kx)というのがフックの法則ですが，
３次元弾性体への拡張は ｐ と ｅ が多重線型(用語の使い方大丈夫ですかね？)
であるということで
p_{ij} = Σ_{kl} C_{ijkl} e_{kl}　　　(i,j,k,l = 1,2,3)
ですから
Ｃ = (C_{ijkl})
は４階のテンソルになります．
Ｃは弾性コンプライアンス定数(あるいは単に，弾性定数)と呼ばれています．
これはk＞nの例になっていますね．
そろそろ，添字地獄になっています．

具体例を持ち出さないとわからないのが物理屋(私だけ？)の弱点ですな～．

どこか，また誤解しているかも知れません．

この回答へのお礼

siegmund先生、物理側からのコメント、ありがとうございます。こうして、数学と物理の専門家、両方に助けていただくと大変心強いです。こういう感じの数学と物理の共同の「教育」みたいなことは、とても大切ですよね。これからもよろしくご指導お願い申し上げます。
私の拙い経験ですと、添字地獄は一般相対性理論のときにもでてきました。添字（よく「足」と呼んでいました）４つとかはよくでてきました。足４本。こうなると計算の見とおしが悪くなって大変でした。

お礼日時：2002/01/09 02:42

No.10 回答者： oodaiko 回答日時： 2002/01/09 14:52

siegmund先生、物理側からのフォローありがとうございます。

＞＞「応力」はＲ^3上の3階のテンソルです（6階でしたっけ。)
＞Ｒ^3 上の２階のテンソルですね．
やっぱり勇み足でしたか f(^^;

少しお断りしておきます。（言い訳ばっかりです (^^;）
私はスピヴァックの『多変数解析学』をネタにこの解説を書いています。今書いている定義や議論の進め方はおおむねこの本にしたがっています。しかしこの本の主題はテンソル代数ではなく、ベクトル解析の主要な定理（古典的なストークスの定理）を現代的な方法で（つまり高度に代数化、抽象化された手法で）解説しようというのが目的です。 例えていえば伝統的なε-δ方式の代わりに超準解析を使って解析学を展開しているような本です。
そこで、この本ではテンソルや外積に関する議論もその目的に必要な部分だけを取りだし、抽象化したような体系になっています。ですから伝統的なテンソル代数の教科書（もちろん数学者が書いたもの）と比較してさえ、言葉の定義や議論の進め方は若干異なっています。
chukanshi さんは
＞さらに詳しく知りたくなったら、専門書をもう一度読みなおしてみようと思います。
＞そのときは、大局がみえているので、少し楽になると思っています。
とおっしゃってますがかえって混乱するかも知れません。そこで今日の投稿の最後にテンソル代数の標準的な教科書との違いを簡単にまとめておきます。

さて続きです。

（７）外積
やっと「外積」が定義できるところまで来ました。
交代テンソル同士のテンソル積が交代テンソルになるとは限らないのは明らかですね。そこで交代テンソル同士の演算であって、結果が交代テンソルになるようなものを定義します。これが「外積」です。

Ｓ∈Ω^k（Ｒ^n）,Ｔ∈Ω^l（Ｒ^n）とします。ＳとＴに対し「Ｒ^n上のk+l階交代テンソル」Ｓ∧Ｔを次のように定義します。
（ただし×の記号は先に述べたベクトル積ではなく、通常の実数のかけ算の意味です）
Ｓ∧Ｔ＝(k+l)!/(k!l!)×Ａ(Ｓ※Ｔ)　　　　………(*Alt)

「交代化」の部分を先の定義で置き換えて、引数を含めて書き下すと

Ｓ∧Ｔ(u_1,…,u_{k+l}) ＝ 1/(k!l!)Σ_{σ∈S_k} sgnσ・Ｓ※Ｔ(u_{σ(1)},…,u_{σ(k+l)})
＝ 1/(k!l!)Σ_{σ∈S_k} sgnσ・Ｓ(u_{σ(1)},…,u_{σ(k)})・Ｔ(u_{σ(k+1)},…,u_{σ(k+l)})

となります。1/(k!l!)という係数はなにやらいわくありげに見えますが、これは後で定義するΩ^k（Ｒ^n）の標準基底をＲ^nの標準基底に作用させた時1になるようにするため、つまり正規化のための係数なのであまり本質的ではありません。今問題にしているのは「ベクトル」すなわち「1階のテンソル」に関する話なので係数は1と考えておいてもさしつかえはありません。

外積の演算法則をチェックしておきましょう。Ｓ,Ｓ_1,Ｓ_2∈Ω^k（Ｒ^n）,Ｔ,Ｔ_1,Ｔ_2∈Ω^l（Ｒ^n）,Ｕ∈Ω^m（Ｒ^n）,a∈Ｒとします。

Ｓ∧（Ｔ_1＋Ｔ_2）＝Ｓ∧Ｔ_1 ＋ Ｓ∧Ｔ_2
(Ｓ_1＋Ｓ_2）∧Ｔ＝Ｓ_1∧Ｔ ＋ Ｓ_2∧Ｔ
(aＳ)∧Ｔ＝Ｓ∧(aＴ)＝a(Ｓ∧Ｔ)
Ｓ∧Ｔ＝(-1)^{kl}(Ｔ∧Ｓ)　
(Ｓ∧Ｔ)∧Ｕ＝Ｓ∧(Ｔ∧Ｕ)

が成り立つちます。始めの３つは交代化の線形性からほとんど明らかですね。４つめは外積を特徴づける性質です。この性質のため外積は「交代積」と呼ばれることもあります。
最後の結合律を示すのは少々面倒です。しかし結合律が成り立つため任意のsに対し《s個の「Ｒ^n上の交代テンソル」の「外積」》を定義することができます。言うまでもなくk_1,…,k_s階の交代テンソルの外積は(k_1+…+k_s)階の交代テンソルになります。先の「ベクトル積」がn-1個の要素に対してしか定義できなかったことを考えると「外積」のほうがずっと「積」らしいと言えますね。

とはいえkを固定した場合、「外積」はΩ^k（Ｒ^n）の中で閉じていない（Ω^k（Ｒ^n）の要素同士の外積はΩ^{2k}（Ｒ^n）の要素になる）ことは明らかですから、これを「演算」と見なすのは少々無理があります。「テンソル積」および「外積」は、演算の意味での「積」というより、どちらかといえば集合の意味での「直積」に近いものと考えた方がよいでしょう。
「外積」を「演算」と見なすためにはすべてkについてのΩ^k（Ｒ^n）全体の集合
Ω(Ｒ^n）＝{ Ω^k（Ｒ^n）: k ∈ Ｎ }
を考え、それを１つの空間と見なし、「外積」をΩ(Ｒ^n）上の演算と定義する方法があります。（定義の方法は今説明した方法の簡単な拡張です） Ω(Ｒ^n）とその演算としての「外積」を組にしたものが、いわゆる「外積代数」または「グラスマン代数」と呼ばれる代数系のことです。ここでは外積代数の話までは深入りしません。


なお(*Alt)の表現では３つ以上の多重積の場合にどう書き下すのか良くわかりませんから、s個の交代テンソルに対する「外積」の表現を書いておきます。
Ｔ_i∈Ω^{k_i}（Ｒ^n）（i=1,…,s) とすると

Ｔ_1∧…∧Ｔ_s＝(k_1+…+k_s)!/(k_1!…k_s!)×Ａ(Ｔ_1※…※Ｔ_s)

となります。もちろん　Ｔ_1∧…∧Ｔ_s ∈ Ω^{k_1+…k_s}（Ｒ^n） となります。


（８）Ω^k（Ｒ^n）の基底と次元
さて外積を使ってΩ^k（Ｒ^n）の標準基底を構成し、またΩ^k（Ｒ^n）の次元を決めることができます。Ω^k（Ｒ^n）はＴ^k（Ｒ^n）の線形部分空間ですから当然次元はＴ^k（Ｒ^n）の次元より小さくなります。また先に書いたようにk＞nの場合はΩ^k（Ｒ^n）は0次元です。

標準基底の定義方法はＴ^k（Ｒ^n）の場合と大体同じですが、Ω^k（Ｒ^n）は交代性があるため微妙に違います。

e_1,…,e_nをＲ^nの標準基底とし、f_1,…,f_nをその双対基底とします。すなわちf_i(e_j)=δ_{ij}です。f_1,…,f_nはもちろんΩ^1（Ｒ^n）の要素です。
f_1,…,f_nから任意のk個の要素f_{i_1},…,f_{i_k}（1≦i_1＜i_2＜…＜i_k≦n）を取り（添字の選び方に注意して下さい）、外積
f_{i_1}∧…∧f_{i_k}
を作ります。これは当然Ω^k（Ｒ^n）の要素です。そしてこのようなΩ^k（Ｒ^n）の元全体がΩ^k（Ｒ^n）の基底になります。従ってΩ^k（Ｒ^n）の次元数は n!/(k!(n-k)!)＝nCkになります。


さてＲ^nの「ベクトル」は「Ｒ^n上の1階交代テンソル」ですから、Ｒ^nの「ベクトル」の「外積」は「Ｒ^n上の2階交代テンソル」になります。そしてその次元はnC2となります。すなわちn=3の時のみ「外積」は「ベクトル」と同じ次元になります。Ｒ上のn次元ベクトル空間は本質的にＲ^nただ一つだけ（Ｒ^nと同一視できる）なので、「ベクトルの外積」はn=3の時のみ同じベクトル空間の中で閉じた演算と見なすことができます。

***********************************************************************
ここまでで「外積」についての一般論は終りです。

最初に書いたようにこの解説はスピヴァックの本を元に書いています。そしてこの本では（一般化された）ストークスの定理の証明を主目的にしているため、用語や記法もその目的に対し最適化された形で構成されています。そのため一般的なテンソル代数の本とは少々用語や定義が異なっています。
スピヴァックの本では、テンソル代数の教科書でいうところの「k階の反変テンソル」のことを「k階のテンソル」と呼んでいます。
わかりやすい例でいえば、正方行列だけを「行列」と定義するようなものです。一般の線形変換の話をするならば一般のn×m行列から論じなければなりませんが、行列式や逆行列や行列の対角化などの解説を目的とするならば、「行列」を正方行列に限定してしまっても構わないわけです。
一般のテンソル代数の教科書では「p階反変テンソル」とその双対空間というべき「q階共変テンソル」というものが定義され、これらのテンソル積をとったものが「p階反変q階共変テンソル」または「(p-q)型のテンソル」と呼ばれる一般的な「テンソル」になっています。
物理テンソルでも相対論などでは「共変テンソル」も出てきますので、ここで解説した「テンソル」の範疇に収まらない物理テンソルも存在します。


次は「ベクトル」の「外積」に話題を絞って、成分による具体的な表示や物理テンソルとの関連などをみていきます。

この回答への補足

そういえば、齋藤正彦先生って、「超準解析」大好きでしたね。そのわりには、齋藤先生の「線形代数」の教科書は普通っぽかったです。

補足日時：2002/01/11 03:43

この回答へのお礼

本当に、詳しい解説をありがとうございます。私個人の躓きそうな点までご指導頂き、本当に感謝しています。まだ、続きをご講義いただけるようなので、楽しみにしております。

お礼日時：2002/01/09 21:39