三角形ABCの辺BC上にBL:LC=3:1となる点L、辺CA上にCM:MA=3:1となる点M、辺AB上にAN:NB=3:1となる点Nをとる。線分BMと線分CNの交点をP、線分CNと線分ALの交点をQ、線分ALと線分BMの交点をRとする。このとき、三角形PQRの面積は三角形ABCの面積の何倍か。

という問題です。中3なので受験勉強もあるのですが、解けないとどうもすっきりしません。誰か教えてくださーい(涙)

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A 回答 (1件)

この問題を解く中3なら、メネラウスの定理はご存知かと思われますが・・・


ということで、
(AN/NB)*(BC/CL)*(LQ/QA)=1よりAQ:QL=12:1
(AM/MC)*(CB/BL)*(LR*RA)=1よりAR:RL=4:9
よって、AR:RQ:RL=4:8:1(同様に、BP:PR:RM=CQ:QP:PN=4:8:1)
あとは△ABC→△ANC→△ANQ→△RPQとでも順番を考えていくと、
(AN/AB)*(NQ/NC)*(QP/QN)*(QR/QA)=(3/4)*(9/13)*(8/9)*(8/12)=4/13(答)
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この回答へのお礼

メネラウスの定理を使うのですね。わかりましたー(^^)。ありがとうございました。

お礼日時:2002/02/10 13:10

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お世話になります。
比の問題が苦手で、どこから手をつければいいのかよく分からない状態です。
答えは12:14:9になるのですが、やり方を教えてもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

まず、ABDとADCの面積比は4:3ですね。三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、2つの三角は高さは同じで底辺が4:3ですから。
面積比4:3は全体の割合で言い換えると、4/7と3/7ですね。

次に、先ほどと同じ考え方で、ABEとEBD, ACEとCEDの面積比は3:2ですね。全体の割合で言い換えると、3/5と2/5です。

ABEとEBDはABDを分割していますから、ABD(4/7)にその割合をかけて出します.ABEは、4/7×3/5, EBDは、4/7×2/5となります。

同じように考えて、ACEとCEDは、3/7×3/5と3/7×2/5となります。

これで4つ全ての三角形の大きさがでました。
あとは、ABEとBCE(BED+CED)とCAEを比較するだけです。

ABE = 4/7×3/5 = 12/35
BCE(BED+CED) = 4/7×2/5+3/7×2/5 = 8/35+6/35 = 14/35
CAE = 3/7×3/5 = 9/35

分母はいずれも同じなので、
△ABE:△BCE:△CAE = 12:14:9 となります。

わかりましたか?

まず、ABDとADCの面積比は4:3ですね。三角形の面積は底辺×高さ÷2なので、2つの三角は高さは同じで底辺が4:3ですから。
面積比4:3は全体の割合で言い換えると、4/7と3/7ですね。

次に、先ほどと同じ考え方で、ABEとEBD, ACEとCEDの面積比は3:2ですね。全体の割合で言い換えると、3/5と2/5です。

ABEとEBDはABDを分割していますから、ABD(4/7)にその割合をかけて出します.ABEは、4/7×3/5, EBDは、4/7×2/5となります。

同じように考えて、ACEとCEDは、3/7×3/5と3/7×2/5となります。

これで4つ全...続きを読む

Q任意の三角形からその三角形と面積の等しい正三角形をその三角形を使って作図するには??

等積変形の問題なのですがかなり考えたのですがわかりません。どなたかわかれば教えてください。

Aベストアンサー

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりましたので、ここで方べきの定理を使用します。
1点より、同じ方向へ、(2a/3)と(√3)bを直線上にとり、この差の半分の長さで円を描きます(この直線上に円の中心がある)。全ての点は同一直線上にある。
つぎに、最初の1点と円の中心点とを直径とする円を描き、交点と最初の1点を結ぶと、接線となり、此がcとなります。
此を1辺とする正三角形を書けば出来上がりです。
作図をするときにa,bを入れ替えてしても同じ結果になります。

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりまし...続きを読む

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余弦定理より

AP^2=c^2+p^2-2cpcosB (2)

b^2=c^2+a^2-2accosB (3)

(3)より

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

(2)へ代入

AP^2=c^2+p^2-2cp[(c^2+a^2-b^2)/2ac]

(1)を代入

AP^2=c^2+(na/m)^2-2(na/m)c[(c^2+a^2-b^2)/2ac]

=c^2+(na/m)^2-(n/m)(c^2+a^2-b^2)

=[(n/m)^2-(n/m)]a^2+(n/m)b^2+(1-n/m)c^2

AP=√{[(n/m)^2-(n/m)]a^2+(n/m)b^2+(1-n/m)c^2}

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クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★三角形ABCにおいて辺AB,BC,CAを3:2に内分する点を,それぞれD,E,Fとするとき,
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この問題についてヒントだけでもお願いします。

Aベストアンサー

座標を設定しましょう。
A点 < Xa , Ya >
B点 < Xb , Yb >
C点 < Xc , Yc >

三角形ABCの重心G
< ( Xa+Xb+Xc)/3 , (Ya+Yb+Yc)/3 > *** ●

D点
< (2Xa+3Xb)/5 , (2Ya+3Yc)/5 >
E点、F点・・・・

三角形DEFの重心g
は上記DEFの座標を●にぶち込んで・・・
重心G = 重心g。

もし、三角形の重心の定義(●式)が未定義なら・・・。
三角形の重心は『ABCの3つの中線の交点』で定義ですよね。
同様に座標設定して、先ず●式を定義(一次式より交点算出)。
その後は、本文先頭にもどって・・・。

ポイントは、
(1)一次関数
(2)A-B直線上のM : N 位置の座標は,
< (NXa+MXb)/(M+N) , (NYa+MYb)/(M+N) >

ではないでしょうか?

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Aベストアンサー

三角形の辺や角度を求めるものに、
正弦定理と余弦定理というものがあります。(URL参照)
高校生になったら普通に習うと思います。

正弦定理:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/seigen/seigen.htm
余弦定理:http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/sankaku/yogen/yogen.htm


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