正四面体 重心 ベクトル

１辺の長さが２の正四面体ABCDがある。Gを△BCDの重心、Hを△ACDの重心とし、直線AGとBHの交点をOとする。
(1)ベクトルAOをベクトルAB,AC、ADを用いて表せ
(2)AO+BO+CO+DO（ベクトル）を求めよ。
(3)点Pがこの四面体の面上を動くときAP^2＋BP^2＋CP^2＋DP^2のとりうる値の範囲を求めよ


この問題に取り組んでいます
(1)はベクトルAO＝1/4（AB+AC+AD）
(2)は０
となりました（自信なしです）

(3)がどのように考えればいいのかわからなくて困ってます。
AP^2＋BP^2＋CP^2＋DP^2という長さが最大になるときと最小になるときはどのようなときなのでしょうか？
回答いただければありがたいです。
よろしくお願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2007/01/08 17:04

>AP^2＋BP^2＋CP^2＋DP^2という長さが最大になるときと最小になるときはどのようなときなのでしょうか？

これがそれぞれのベクトルの内積と捉えれば内積も結合法則が成り立ちますから

AP^2=AP・AP=(AO+OP)・(AO+OP)=AO^2+OP^2+2AO・OP

(全てベクトルです)　同様にすると与式は

AP^2＋BP^2＋CP^2＋DP^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2+4OP^2+2OP・(AO+BO+CO+DO)

ここでAO+BO+CO+DO=0,AO^2+BO^2+CO^2+DO^2は定数になります。結局、4OP^2だけが
変数ですので最大値はOから最も離れた時：4つの頂点のどれかに来た時、
最小値は最も近づいた時：どれかの三角形の重心に来た時となります。
(それぞれ12と20/3かな）

No.1 回答者： postro 回答日時： 2007/01/08 16:08

＞(3)がどのように考えればいいのかわからなくて困ってます。

点Pが４面のうちどの面にあってもAP^2＋BP^2＋CP^2＋DP^2は同じことなので△BCD内または周の上にあるとする。
APベクトルを[AP]と書く
Pは△BCD内または周の上にあるので　[AP]=m[AB]＋n[AC]+(1-m-n)[AD] と書ける
ただし　0≦m,　0≦n,　0≦(1-m-n)
[BP]=[AP]-[AB]
[CP]=[AP]-[AC]
[DP]=[AP]-[AD]
|[BP]|^2=|[AP]|^2-2[AP]・[AB]+|[AB]|^2=|[AP]|^2-2[AP]・[AB]+4
ここで[AP]・[AB]=(m[AB]＋n[AC]+(1-m-n)[AD] )・[AB]=2m+2 より
|[BP]|^2=|[AP]|^2-4m

同様に
[AP]・[AC]=2n+2
[AP]・[AD]=4-2m-2n
より
|[CP]|^2=|[AP]|^2-4n
|[DP]|^2=|[AP]|^2+4m+4n-4
よって
AP^2＋BP^2＋CP^2＋DP^2=4AP^2-4
この最大値はPが頂点B,C,Dに一致するとき、最小値はGと一致するとき
・・・・だと思う。