直線電流と円電流との間に働く力

無限に長い直線電流Ｉとそれと同一平面上にある半径Ｒの円電流Ｉ’があって、直線電流と円電流の中心との距離がａのとき、両者の間に働く力の大きさと向きはどのようになりますか？　自分で何となく式が立っているのですが、うまく積分することができませんでした。　年末の忙しい時期に申し訳ないのですが、誰か答えていただけませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2007/12/31 08:30

大昔、計算したものをみると、面倒。

　円の回路C1の中心を原点に、半径をa、電流I1が反時計方向に流れている、C1の１点を(1)としX軸とのなす角をθとする。
　直線の回路C2をY軸に平行に取り、そのX座標をb(>a>0)とし、+Y方向に電流I2が流れている。C2の１点を(2)としその座標を(b,y)とする。と、問題の設定ができました。

ベクトル(1)(2)をr~、r=|r~|、C1,C2の線素ベクトルをds1~,ds2~とするとビオサバールの式によりC1がC2におよぼす力F12~は
F12~=(μI1I2/4π)∫[c1]∫[c2](ds2~×(ds1~×r~))/r^3
r~=(b-a・cosθ)i~+(y-a・sinθ)j~
ds1~=adθ(-sinθi~+cosθj~)
ds2~=dyj~
ここでi~,j~,k~はX,Y,Z方向の単位ベクトルです。

ds1~×r~=adθ(a-y・sinθ-b・cosθ)k~
ds2~×(ds1~×r~)=dyadθ(a-y・sinθ-b・cosθ)i~
これで積分できる準備ができました。

まず∫[c2]=∫[-∞,+∞]dyはY=y-a・sinθの変数変換をして、遇奇関数により簡単化し、Y=(b-a・cosθ)tanφと変数変換して計算を完了します(cosを含むある程度簡単な式になる)。

最後に、∫[c1]=∫[-π,+π]dθは定石どおり、tan(θ/2)=tとすれば
F12~=μI1I2(1-b/√(b^2-a^2))i~
となる。根気だけです。(^o^)y-

No.1 回答者： foobar 回答日時： 2007/12/31 08:07

・無限長導体の作る磁束のうち、円形コイルに鎖交する磁束を計算し、相互インダクタンスMを計算する。

・相互インダクタンス分の磁気エネルギー Em=MII'を求める。
・両コイル間に働く力を dEm/da で算定する
という手順が使えそうに思います。