線形代数の基と次元について

Dim(W)=n-rank(A)　の公式がどうも良く解りません。

次の解空間の次元と１組の基を求めよ、
Ｗ＝ｘ∈R^5,
(X1)-2(X2)+(X3)+2(X4)+3(X5)=0
2(X1)-4(X2)+3(X3)+3(X4)+8(X5)=0
という問題があったのですが、これの係数行列を簡約化すると
1 -2 0 3 1
0 0 1 -1 2
となりますよね。
ここで、(X1)=-2(X2)+3(X4)+(X5), (X3)=-(X4)+2(X5)　と見て、
x=
2(c1)-3(c2)-(C3)
(c1)
(c2)-2(c3)
(c2)
(c3)
とすれば、基の個数は３となるのですが（これが正解）、

(X2)=-(X1),(X4)=3(X1)-(X3),(X5)=(X1)+2(X3)　と見て、
x=
(c1)
-2(c1)
(c2)
3(c1)-(c2)
(C1)+2(C2)
とするのは何故駄目なのですか？
この場合、次元は２になるのでは無いかと思って、自分でどこが間違っているのか考えてみたのですが、良く解りませんでした。
よろしければ、自分の考え方のどこが間違っているのか、何故駄目なのかを教えてください。

No.1 回答者： PRFRD 回答日時： 2009/05/24 20:27

> (X2)=-(X1),(X4)=3(X1)-(X3),(X5)=(X1)+2(X3)　と見て、

どうやってこのように見たのでしょうか？

結果としては，こう見ることができません．
実際，もしこう置いてしまうと必ず 2x1 = -x2 になりますが，
この条件を満たさない解が存在します．
例えば (x1,...,x5) = (-1,0,-2,0,1) はそのような解の１つです．


何故正解が係数行列を簡約化し，どうして (X1) = ..., (X3) = ...
と置いたかは理解していますか？