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例えば、L=cos(x-y)

という関数があったとき、

Lをxについて偏微分すると  -sin(x-y)
Lをyについて偏微分すると  -sin(x-y)

で正しいですよね? どうもyについて偏微分したときに

sin(x-y)となるという話がでてきて混乱してます。

どなたか教えてください。

教えて!goo グレード

A 回答 (3件)

こんにちは。



yでの偏微分の結果の、符号が違いますね。
合成関数の微分で間違っているか、
三角関数の微分で間違われているのかわかりませんが、

x=a(=定数)
とすれば、

dcosθ/dθ = -sinθ
であり、
dθ/dy = d(a-y)/dy = -1
ですから、

dcos(a-y)/dy = dcosθ/dθ・dθ/dy
 = -sinθ × (-1) = sinθ
 = sin(a-y)

同じ考え方で偏微分してください。


以上、ご参考になりましたら幸いです。
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#1さんの答のとおりなんですが,補足すると,



一般に X = X(x,y) のとき L=cos X をx,yで偏微分すると

∂L/∂x = d[cos X]/dX × (∂X/∂x) = ( - sin X ) × (∂X/∂x)
∂L/∂y = d[cos X]/dX × (∂X/∂y) = ( - sin X ) × (∂X/∂y)

質問の問題では X = x - y なので ∂X/∂x = +1,∂X/∂y = -1 となり,これを代入して

∂L/∂x = ( - sin X ) × (+1) = - sin (x-y)
∂L/∂y = ( - sin X ) × (-1) = + sin (x-y)

です.
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cos(x-1)をxで微分すると-sin(x-1)です。


cos(1-x)をxで微分するとsin(1-x)です。

偏微分とは、対象となる変数以外を定数とみなすことです。
ですから、cos(x-y)をyで偏微分するとsin(x-y)になります。

別の見方をすると、cos(x-y)=cos(y-x)ですからこれをyで偏微分すると
-sin(y-x)となります。
sin(y-x)=-sin(x-y)ですから、結局答えはsin(x-y)となります。
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