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次の問題についての回答かヒントをお願いします.
1.検流計のコイルの抵抗を測定する方法を1つ示せ.ただし,電池1個と抵抗器数個のみが使えるものとする.
2.検流計の運動が以下の式で与えられるとする.この時,運動が臨界制動となる条件を求めよ.ただし,θは検流計にステップ状の電流iを流した時の回転角である.なお,電流はt>0で一定値をとるものとする.
md^2/dt^2+kdθ/dt+τθ=αi
3.検流計Gと抵抗Rと電池Eを直列接続した回路について考える.検流計Gのコイルの抵抗をRgとしたとき,検流計を臨界制動とする抵抗Rの値Rcdを求めよ.なお,この回路では,t=0においてスイッチを入れ,Lを回路のインダクタンスとしたときの逆起電力
αdθ/dt+Ldi/dt
が生ずる.
4.3.の図でRを一定としたとき,検流計Gのふれの大きさを最大とするコイルの抵抗Rgを求めよ.ただし,Rgはコイルの巻き数nの2乗に比例するものとする.
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
参考程度に
md^2θ/dt^2+kdθ/dt+τθ=αi
ω=√(τ/m) :振動周波数
ξ=k/2mω :制動ファクター
と置けば、
(d^2θ/dt^2)+2ξω(dθ/dt)+ω^2θ=(αi/m)
ラプラス変換を使って、
s^2θ(s)-sθ(0)-θ'(0)+2ξω[sθ(s)-θ(0)}+ω^2θ(s)=(α*1/ms)
ステップ電流の印加なので、θ(0)=0, θ'(0)=0 とすれば、
θ(s){s^2+2ξωs+ω^2}=(α/m)/s
θ(s)=(α/m)/s{s^2+2ξωs+ω^2}=(α/m)/s(s-s1)(s-s2)
s0=0, s1, s2=ω(-ξ±j√(1-ξ^2))=γ±jβ
γ=-ξω, β=ω√(1-ξ^2)
虚数項 β=ω√(1-ξ^2)=0 が臨界制動の条件ですから、
ω≠0, 1-ξ^2=0, ξ^2=(k/2mω)^2=1, ω=k/2m=√(τ/m) が条件ですね。
まともに逆変換すると、
θ(t)=(α/mω^2){1+(ω/β)e^-γt*sin(βt-Φ)}: Φ=tan-1(-β/γ)
=(α/mω^2){1+(1/√(1-ξ^2))e^-ξωt*sin(√(1-ξ^2)ωt-Φ)}
という感じになりますね。
ξ^2→+1, の時、θ(t)→(α/mω^2) になるから振動はしないね。
というように面倒なんだけど、簡単には
(d^2θ/dt^2)+2ξω(dθ/dt)+ω^2θ=0
と置いて、(dθ/dt)を変数と考えて、
D=(2ξω)^2-4ω^2=0, であれば複素数根はないので、
θ(t)に振動解はないようにと出来るので、ξ^2=1, ω=k/2m とはなるね。
そんな感じで参考程度に
2.の問題を丁寧に解説して頂き,ありがとうございます!『振動周波数』,『制動ファクター』初めて耳にしました。検流計の方程式md^2θ/dt^2+kdθ/dt+τθ=αiはやっぱり力学的な運動方程式から導かれるのしょうかね。どういう過程でこういう方程式が出てくるのでしょうか?ご存知でしたらご回答お願いします。ちなみに,他の3問もさっぱりですf^^;
No.2
- 回答日時:
参考程度に
力学的な運動方程式から導かれるのしょうかね。
そのとおりです。力学的な運動を方程式にしているだけですね。電気と方程式はまったく同じです。ダンパーは電気的な容量と等価ですね。ばねは誘導インダクタンスと等価、電流のかわりが変位量(角度や距離)というだけですね。この問題では変位量θ=K*i(電流) とすれば等価ですね。
(3)は、{αdθ/dt+Ldi/dt }が逆起電力ですから、
αdθ/dt+Ldi/dt +(R+Rg)i=E
θ(t)=K*i :(2)の臨界制動時の電流と変位の関係より。
とでも置けば方程式はとけますね。
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