最初に問題と回答を写します
(X,〇)、(X',〇')、(X'',〇'') をそれぞれ 〇, 〇', 〇''を開集合系とする位相空間
f:X→X' g:X'→X'' を連続写像とする
問:Y⊂X がコンパクトであるとき f(Y) がコンパクトになることを証明せよ
答:ц={U(λ)|λ∈Λ} を f(Y) の開被覆とすると
f が連続写像であることより
ц'={f^(-1)・(U(λ)) |λ∈Λ} は Y の開被覆となる
Y はコンパクトであるから,ある ц' の部分被覆
{f^(-1)・(U(λ1))、f^(-1)・(U(λ2))、…、f^(-1)・(U(λn))}
が存在する。このとき
{U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)}
が ц の部分被覆になるのは容易に分かるので f(Y) はコンパクト ■
この最後のところで、どうして {U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)} が
цの部分被覆になるのかが分からないので教えて欲しいです。
よろしくお願いします。別解などありましたら歓迎です。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
任意のy∈f(Y)についてf(x)=yとなるx∈Yが存在する。
{f^(-1)・(U(λ1))、f^(-1)・(U(λ2))、…、f^(-1)・(U(λn))}
がYの被覆だから、あるλi があってx∈f^(-1)・(U(λi))、すなわち
y∈U(λi)。よって{U(λ1)、U(λ2)、…、U(λn)}はYの被覆
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