バナッハ空間Xと、その上の弱連続な等長線型写像のなすsemi grou

バナッハ空間Xと、その上の弱連続な等長線型写像のなすsemi group（積は合成）Sがあるとします。
ｘをXの０でない元とするとき、Xの部分集合｛ f(x): fεS }の弱閉包は、０を含むでしょうか？
長時間考えているのですが、どうしてもわかりません。どなたかお助けください。

No.2 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/07/25 03:41

x≠0

f(x)∈{f(x):f∈S}
とすると
fは等長
|f(x)|=|x|だから
{f(x):f∈S}⊂{y:|y|≧|x|}閉だから
{f(x):f∈S}の閉包をcl{f(x):f∈S}とすると
cl{f(x):f∈S}⊂{y:|y|≧|x|}
|x|>0だから
0∈{y:|y|<|x|}=X-{y:|y|≧|x|}⊂X-cl{f(x):f∈S}
0∈X-cl{f(x):f∈S}
∴
{f(x):f∈S}の閉包cl{f(x):f∈S}は0を含まない

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
わからなかったのですが、{y:|y|≧|x|}は弱閉になりますか？

お礼日時：2010/07/25 12:37

No.1 回答者： Anti-Giants 回答日時： 2010/07/24 19:26

難しそうな問題ですね・・・。

私ごときには解けませんでした。


知っているかもしれませんが、「Xが無限次元ノルム空間のとき、{x∈X|norm{x}=1}の弱位相による閉包は{x∈X|norm{a}≦1}」です。これはヒントになりませんか。

この回答へのお礼

考えてくださり、ありがとうございました。
ノルム空間の単位球面の弱閉包が閉単位球になることは、
知りませんでした。教えてくださりありがとうございました。
今のところまだ、解決できません。

お礼日時：2010/07/25 12:34