２次方程式の解の種類

Question

２つの２次方程式9x2＋6ax＋4=0…(1),x2＋2ax＋3a=0…(2)が次の条件を満たすように定数aの値の範囲を定めよ。
(1)少なくとも一方が虚数解をもつ

(2)(1)のみが虚数解をもつ

問題集の解答には
(1)の場合は「Ｄ1<0かつＤ2<0で解きなさい」と書いてあります。
(2)の場合は「Ｄ1<0またはＤ2<0で解きなさい」と書いてあります。
皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか？
皆様のお力をお貸しください。
よろしくお願いします。

naniwacchi · Accepted Answer

こんばんわ。

＞皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか？
この「解答」を丸々覚えても、ほとんど意味はないと思います。

いまの問題は、「虚数解をもつ」と「虚数解をもたない＝実数解をもつ」の 2つがありますね。
一つずつ、言い換えていくことを考えます。
★(1)少なくとも一方が虚数解をもつ
少なくとも一方ということは、
・(1)だけが虚数解をもつ（(2)は実数解をもつ）
・(2)だけが虚数解をもつ（(1)は実数解をもつ）
・(1)も(2)も虚数解をもつ

という場合分けができます。

ところが、ここには現れていない組み合わせがありますね。
それは、「(1)も(2)も実数解をもつ」という組み合わせです。
これは「少なくとも一方が虚数解をもつ」ということの否定になっています。

解き方は 2とおりあります。
・一つ目は、上に挙げた 3つの組み合わせを満たす範囲をそれぞれ求めて、
その範囲を足し合わせる方法です。
ただし、一番目と二番目の範囲を足し合わせると、三番目の範囲はそこに含まれることになります。

・もう一つは、「(1)も(2)も実数解を持つ」という範囲を求めて、全体（実数全体）からその範囲を除く方法です。

★(2)(1)のみが虚数解をもつ
これは、
・(1)だけが虚数解をもつ（(2)は実数解をもつ）

ということですから、この両方を満たす範囲を素直に求めます。

範囲を求めるところでは、数直線を用いて考えると考えやすいと思います。

と考えると、問題集の解答は間違っていませんか？
D1、D2はおそらく判別式のことだと思いますので、
(1)の場合は、D1＜ 0 または D2＜ 0 で解きなさい。
(2)の場合は、D1＜ 0 かつ D2≧ 0で解きなさい。

ではないでしょうか。

Mr_Holland · Answer

＞問題集の解答には
＞(1)の場合は「Ｄ1<0かつＤ2<0で解きなさい」と書いてあります。
＞(2)の場合は「Ｄ1<0またはＤ2<0で解きなさい」と書いてあります。

まず、ここの記述は下記の誤りのように思います。
　　(1)の場合は「D1<0 または D2<0」　　　⇔「-2<a<2」または「0<a<3」　　　　⇔「-2<a<3」
　　(2)の場合は「D1<0 かつ　D2≧0」　　　⇔「-2<a<2」かつ「a≦0または3≦a」　⇔「-2<a≦0」

＞皆さんはこれを覚えて解くのでしょうか？

少なくとも私は覚えたりしていませんが、他の優秀な回答者さんたちも覚えたりしていないと思います。　それは覚えたりしなくても理屈で考えれば自然と分かるからです。

「虚数解をもつ」⇔「D<0」ということさえおさえられていれば、次のように同値変形で条件を置き換えることができます。

「少なくとも一方が虚数解をもつ」
　⇔「方程式(1)が虚数解をもつ」または「方程式(2)が虚数解をもつ」
　⇔「D1<0」または「D2<0」

「方程式(1)のみが虚数解をもつ」
　⇔「方程式(1)が虚数解をもつ」かつ「方程式(2)が虚数解をもたない」
　⇔「方程式(1)が虚数解をもつ」かつ「方程式(2)が実数解をもつ」
　⇔「D1<0」かつ「D2≧0」

これらの同値変形は、慣れないと大変かもしれませんので、慣れるまでは上記のような条件の置き換えをノートに書いて考えていくとよいと思います。

以上、よろしければ参考にしてください。

alice_44 · Answer

その問題集の解答は、間違っています。
小問(1)は「Ｄ1＜0 または Ｄ2＜0」
小問(2)は「Ｄ1＜0 かつ Ｄ2≧0」となる条件を
求めることになります。

普通は、実係数二次方程式が
　　二つの異なる実数解をもつ条件 ⇔ 判別式 Ｄ＞0、
　　実重解をもつ条件 ⇔ 判別式 Ｄ＝0、
　　虚数解をもつ条件 ⇔ 判別式 Ｄ＜0
であることを覚えておきます。

２次方程式の解の種類

こんばんわ。

＞問題集の解答には

その問題集の解答は、間違っています。

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