ナブラ ∇

ナブラ　∇

ナブラは1階の偏微分作用素です。
ナブラによって、勾配・発散・回転が定義されます。

勾配はスカラー関数をベクトル関数へ変換する微分。
発散はベクトル関数をスカラー関数へ変換する微分。
回転はベクトル関数をベクトル関数へ変換する微分。

ここで、質問なのですがスカラー関数をスカラー関数
へ変換する微分というのは存在しないのでしょうか？

具体的な例なども示して頂けるとありがたいです。


以上、よろしくお願い致します。

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2011/07/02 05:14

＞勾配はスカラー関数をベクトル関数へ変換する微分。

＞発散はベクトル関数をスカラー関数へ変換する微分。
＞回転はベクトル関数をベクトル関数へ変換する微分。

さらに限定的に言うならばこれらは空間微分です。ベクトル演算子ナブラの定義から明らかです。

＞ここで、質問なのですがスカラー関数をスカラー関数
へ変換する微分というのは存在しないのでしょうか？

いろんな意味合いに採れますがたとえば勾配を考えるとき
実質的に一次元で十分な時は該当するでしょう。
たとえば細長い棒状物体の温度分布は長さ方向の微分で十分なことが多いでしょう。
これはたとえば管路内を流れる流体の流速の場合も同じで、
流速の軸方向の成分が主として研究対象となり、
このような流れをone dimenshinal flowといいます。

また、見方を変えるとスカラー関数φの勾配(ベクトル)の発散(結果はスカラー）を求める演算は
結果としてスカラーからスカラーへの微分といえます。
このような演算子がラプラシアン△です。

△φ＝div・gradφ＝∇・∇φ

△φ=δ^2φ/δx^2+δ^2φ/δy^2+δ^2φ/δz^2はベクトルは介在していませんが
div・gradφはgradφで作ったベクトルのdivをとることによってスカラーに変換しています。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
私は、スカラー関数の発散を求める操作があるのでは？と考えたのですが、発散の物理的な意味は
速度場(流体)においての、単位時間辺りの体積を求める事だと理解したので、スカラー場での発散はないですよね？

スカラー関数の勾配の発散は物理もしくは、工学の場で用いられる事はあるのでしょうか？

補足日時：2011/07/02 10:41

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2011/07/27 18:16

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2011/07/02 12:31

何かテキトーな定数ベクトル u を持ってきて

u・∇ も、スカラーからスカラーへですが…
｜u｜=1 だと、方向微分とか言いますよね。

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2011/07/02 05:23

こんにちは。

覚えたては楽しいものですよね。

Ａを三次元ベクトル（Ａx，Ａy，Ａz）と置いて、

勾配：　∇Ａ　＝　（∂Ａx／∂ｘ，∂Ａy／∂ｙ，∂Ａz／∂ｚ）

発散：　∇・Ａ　＝　∂Ａx／∂ｘ　＋　∂Ａy／∂ｙ　＋　∂Ａz／∂ｚ

回転：　∇×Ａ　＝　（∂Ａz／∂ｙ－∂Ａy／∂ｚ，∂Ａx／∂ｚ－∂Ａz／∂ｘ，∂Ａy／∂ｘ－∂Ａx／∂ｙ）

以上で登場したもののうち唯一のスカラーは、∇・Ａ　ですよね。
ですから、∇　を使ってスカラーをスカラーにするということは、
∇　と　∇・Ａ　の内積である　∇・（∇・Ａ）　を取るということなので、
∇^2・Ａ　＝　∇・（∇・Ａ）　＝　∂^2Ａx／∂ｘ^2　＋　∂^2Ａy／∂ｙ^2　＋　∂^2Ａz／∂ｚ^2

∇の２乗のように表す演算子のことをラプラシアンと呼び、Δと表します。
∇^2　＝　Δ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97% …
ただし、
ΔＡ　の例は思いつきますが、Δ・Ａ　の例は思い浮かびません・・・

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2011/07/02 01:31

スカラとベクトルからどのようにスカラを導けばいいのでしょうか?