年金原価係数の摩訶不思議

この理屈がわかりません。

以下の例を用いてご説明します。

3年後に元利含めての返済を条件に
取引先に20,000円を4/1に貸し付けたとします。

金利は年2％　利払日は毎年3/31

向こう3年間のキャッシュフローは

1年後 400円
2年後 400円
3年後 20,400円

一方、将来の一定期間、一定額のキャッシュフローを
生み出すために現時点で
いくらの運用資金が必要かと考えたとき
活用されるのは年金原価係数ですね。

年金原価係数はご承知の通り、
元本を一定利率で複利で運用しながら、
毎年一定金額を一定期間取り崩していくとき、
現在いくらの元本で複利運用を開始すればよいかを
計算するときに利用します。

400÷（1＋0.02）＝392.156…
400÷（1＋0.02）÷（1＋0.02）＝384.467…
20,400÷（1＋0.02）÷（1＋0.02）÷（1＋0.02）＝19223.375…

392＋384＋19223＝19999.999…≒20,000

最初の貸付条件にもどりますと
1年後の400円は20,000円という元本から生まれた単利の利子。

年金原価係数の考え方では400円は元本＋複利です。

私には考え方が全く違う（ように見える）のに
なぜ合致してしまうのか。未だに理解できていません。
そういうものだと覚えているにすぎません。

どなたか数学的にご解説願えないでしょうか。

No.4 ベストアンサー 回答者： xexstyle 回答日時： 2012/02/27 18:40

ANo2です。

>>一見すると単利にみえるものでも
>>実際は複利のみで運用されているという考え方でよいのでしょうか。

「複利のみで運用」というと語弊がありますが、単利で額とタイミングが確定していれば、単利の利率を複利の利率に換算して表すことができます。
初期投資額をCF<0>、将来のキャッシュフローをCF<1>、CF<2>…CF<n>で表し、また利率をrとした場合、CF<0>=CF<1>/(1+r) ＋ CF<2>/(1+r)^2 ＋…＋ CF<2>/(1+r)^nと表されれば複利と考えることができますが、単利で額とタイミングが確定していれば、いずれもこのかたちで表されますので、その単利の利率を複利の利率に換算して表せるということです。

その逆が成り立つ、すなわち複利の利率を単利の利率で表せるかというと、いつも表されるとは言えません。
将来のキャッシュフローが一定の率で逓増したり、逓減するような場合を考えれば、それは分かりやすいと思います。

この回答へのお礼

ご丁寧なご回答、ありがとうございます。

見方を変えれば単利とも、複利ともいえる。
数字上の話なので、そういうケースもあり得る、とは
私でも理解できる話です。

結局、単利で運用、処理しているけれども、見方を変えれば
というより条件が合えば、複利運用としても
表現できるといったところでしょうか。

ご説明の「額とタイミング」の額はわかりますが、
タイミングとは将来のキャッシュフローのスケジュールのことでしょうか。

他の方のご説明も詳しくて理解が深りましたが、
何度もお答えいただいているxexstyleさんをベストアンサーとさせていただきます。

お礼日時：2012/02/28 01:34

No.3 回答者： fwhx9306 回答日時： 2012/02/26 20:22

>>>1年後の400円は20,000円という元本から生まれた単利の利子。

>>>年金原価係数の考え方では400円は元本＋複利です。
２・３年後の利息計算を考えて見ると分かると思います。利息計算の元となる20,000円は原価価値では2%減ってないといけないですよね？その次の年は2%減価させたものに、更に2%減価させてなければいけません。
現在価値でみると利息計算の元になる20,000円自体、複利のような状態になってます。

この回答へのお礼

わかりやすいご説明、本当にありがとうございます。

複利運用がベースということで理解すべきなのですね?

とすると、そもそも単利とは何かと考え込んでしまいます。

100円の元本があるとして年利率が20％とします。

１年で 　100円×0.2＝20円の利子。
２年でも同様に20円の利子。
元本に対してのみ利子がつくので、同じ割合で
毎年20円ずつ増加。
返済時に20円×年数＋100円。これが単利と理解しています・。
20円を年ごとに支払えば複利。
もう少し、考えてみます。

お礼日時：2012/02/27 12:24

No.2 回答者： xexstyle 回答日時： 2012/02/26 19:19

>>1年後の400円は20,000円という元本から生まれた単利の利子。

元金20,000円に対して毎年400円の利子がもらえるからあたかも単利で利子がついているように見えますが、別の面から見ると複利の計算が内在していることが分かります。

>> 392＋384＋19223＝19999.999…≒20,000

この式から分かるとおり、元金20,000円は、392、384、19223の三つの部分から構成されていると考えられます。
そのうちのひとつ392円に2％の利息がついて、1年経過することで、元利合計で392×(1+2%)≒400円となったと考えます。
翌年は、元金のうち384円に2％の利息が年複利でつき、2年経過することで、元利合計で384×(1+2%)×(1+2%)≒400円となったと考えます。
さらに翌年は、残りの元金19223円に2％の利息が年複利でつき、3年経過することで、元利合計で19223×(1+2%)×(1+2%)×(1+2%)≒20,400円となったと考えることができるのです。

20,000 = 392＋384＋19223
であり、
392 = 400/(1+2%)、 384 = 400/(1+2%)^2、 19223 = 20400/(1+2%)^3
ですから、
20,000 = 400/(1+2%) + 400/(1+2%)^2 + 20400/(1+2%)^3
となり、将来のキャッシュフローの割引現在価値を合算して、初期投資額を求めるという、年金現価係数の意味と合致します。

ご質問のような貸付（借入）であれば、元金とその元金返済額は一緒ですから、単利も複利も利率は一緒になります（一緒だから質問者さんのように混乱が生じたのかも）。
債券のように購入価額と償還額が異なると、債券全体の利回りは単利と複利では差がでます。

この回答へのお礼

連絡が遅くなり申し訳ありません。
詳しいご回答、本当に感謝します。

ただ、仰られる年金原価係数の考え方では、
現在（というか現在価値）の20,000は向こう三年間の各キャッシュ・フローを
複利運用で生み出すための資産の合計額なのは
よく承知しています。

つまりすべからく世の中の債権・債務は
一見すると単利にみえるものでも
実際は複利のみで運用されているという考え方でよいのでしょうか。

お礼日時：2012/02/27 12:01

No.1 回答者： blooks 回答日時： 2012/02/26 16:47

「毎年一定金額」なのだから、

1年後 400円
2年後 400円
3年後 400円

400÷（1＋0.02）＝392.156…
400÷（1＋0.02）÷（1＋0.02）＝384.467…
400÷（1＋0.02）÷（1＋0.02）÷（1＋0.02）＝376.928…

392.156…＋384.467…＋376.928…＝1,153.553…

四捨五入して初期投資額を1,154円とすると

1,154*1.02=1,177
1,177-400=777

777*1.02=793
793-400=393

393*1.02=401
401-400=1

ピッタリ０にはならないけど年金現価係数のしくみです。


書かれている計算式は、１つの事象について時間軸をスタートからゴールへ進む（複利計算）か、ゴールからスタートへ戻る（割引計算）かの違いなので、一致するのは当然です。

この回答へのお礼

まずは連絡が遅くなり申し訳ありません。
ご回答をいただきまして、ありがとうございます。

ご説明では単利に見える債権でも
すべからく複利計算で運用されているということでしょうか?
年金原価係数という複利運用をベースにした考え方がすべてなら
迷いはないのですが。。。

お礼日時：2012/02/27 12:11