数ベクトル空間 ベクトル空間

数ベクトル空間について教えて下さい。
ベクトル空間の章で数ベクトル空間という言葉がかなり多く
用いられます。数ベクトル空間がどのようなものかよく分かりません・・・

数ベクトル空間の定義
K上の数ベクトル空間Vとは、
数の組をベクトル空間として扱ったもので、
V:={（a1・・・an）｜a1,・・・,an∈K}
と定義される。

ここで質問なのですが、数ベクトル空間は具体的にどのよう
なものでしょうか？
また、数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間という理解は正しいでしょうか？

数ベクトル空間でないベクトル空間
ってどのようなものがあるのでしょうか？

数ベクトル空間の例とベクトル空間の例を具体的に示して頂けない
でしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/10 00:48

実数の集合 R に対し R は R上数ベクトル空間になるし, 「R上連続な関数の集合」は R上の (数ベクトル空間でない) ベクトル空間をなす.

そして「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」という表現は「部分空間」をきちんと理解していれば出てくるはずのないもの.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

＞「R上連続な関数の集合」は R上の (数ベクトル空間でない) ＞ベクトル空間をなす.
R上連続な関数の集合とは、数式で表すにはどのように表せば良い
のでしょうか？

部分空間ですが、
和とスカラー倍が閉じているベクトル空間Vの部分集合Wの事を
部分空間と理解しています。
部分空間と言えないという反例を示したいのですが、どのように
すれば良いでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/10 11:46

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/10 12:35

「R上連続な関数の集合」は

{f|f は R上連続な関数}
って書けばいいね. 「連続」も定義まで戻すことはできるけど, それが必要なら自分でやってください.

で「部分空間」のところだけど.... 「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」っていっちゃうと, 「数ベクトル空間全体からなる集合」とか「ベクトル空間全体からなる集合」ってものを意識することになるよね (「部分空間」は「部分集合」を意味する). これを数ベクトル空間V とベクトル空間U を任意に持ってきたときに「V が U の部分空間か」という問だとしても, 必ずしもそうでないことはほぼ自明じゃないか?

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

数ベクトル空間について、R^2やR^3など具体的な空間について
R^2やR^3を単にベクトル空間と言ったりします。
数ベクトル空間なのになぜベクトル空間と言うのでしょうか？

ベクトル空間の中で、例えば実数や複素数などの数だけに限定して考えた空間の事を数ベクトル空間と言うのではないのですか？
だから、数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間と言えるのでは考えた次第です・・・

以上、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/10 17:09

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/10 23:32

数ベクトル空間なんてのは特殊なベクトル空間でしかないんだから, 「数ベクトル空間」であることを強調しなければならないような場面でなければ「ベクトル空間」と呼んでもかまわない. それとも, あなたは「正方形を四角形と呼んではいけない」と主張しますか?

で, あなたのいう「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」とは
「数ベクトル空間全体の集合」は「ベクトル空間全体の集合」の部分空間である
という意味でいいですか? そうでないとしたら, 私にはあなたが何をいっているのかさっぱりわかりません.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

＞あなたのいう「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」
＞とは「数ベクトル空間全体の集合」は「ベクトル空間全体の
＞集合」の部分空間である
そうです。
R^2やR^3などの全ての数ベクトル空間はベクトル空間の部分
空間と言えるのでは？という疑問です。

＞そして「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」という
＞表現は「部分空間」をきちんと理解していれば出てくるはず
＞のないもの.
出てくるはずのないものとなるのはなぜですか？
この点について教えて頂けないでしょうか？

補足日時：2014/06/11 17:36

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/12 00:00

「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」が本当に

「数ベクトル空間全体の集合」が「ベクトル空間全体の集合」の部分空間
を意味しているというのだとしたら, あなたは次のことを主張しているということになります:
・「数ベクトル空間全体の集合」や「ベクトル空間全体の集合」は (なんらかの係数体の上で) ベクトル空間をなす

もしそうだとするなら
・その「なんらかの係数体」とはいったいなんなのか, 明確にしてください.
・ベクトル空間同士の和やベクトル空間と (なんらかの係数体の要素である) スカラーとの積の定義をきちんと書いてください.

なお, 「数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間」が
「R^2やR^3などの全ての数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間と言えるのでは」
のような意味なんだとしたら, どの数ベクトル空間とどのベクトル空間との関係を言っているのか全く不明瞭である以上そもそも命題ではありません. R^2 は R^3 の部分空間じゃないでしょ?

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

R^2はR^3の部分空間と認識しております。

いろいろ調べていて、
ある大学の講義動画で、ちょうど良い説明を見つけました。

1:06:30付近です。


以上、よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/15 22:56

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/16 00:10

OK, 「R^2はR^3の部分空間と認識しております」ってことだから当然証明をここに書けるよね?

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。

証明できないです。
例えば、有理数は実数の部分集合だと認識してますが
、そう理解しているだけでこれも証明できません。

動画では、部分空間の例として当たり前のように紹介されて
ますが、やはり違うのでしょうか？

Tacosanのご回答頂いた内容について参考になるようなURL等
紹介して頂けないでしょうか？

以上、よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/16 12:33

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/06/17 00:02

R^2 = { (a, b) | a, b ∈ R },

R^3 = { (a, b, c) | a, b, c ∈ R }
だよね. どこをどう見たら「R^2 が R^3 の部分空間」になる?

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/18 10:05

>数ベクトル空間の例

R^n

>ベクトル空間の例

多項式。

>数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間という理解は正しいでしょうか？

正しくないです。A が B の部分空間ならば

x ∈ A ⇒ x ∈ B

が最低限必要。R^n は多項式ではありません。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/18 12:47

＞数ベクトル空間はベクトル空間の部分空間という理解は正しいでしょうか？

もうひとつ。

部分空間というのは具体的な２つのベクトル空間の「関係」を表す言葉。

もっとメタに、

全て数ベクトル空間の集合は全てのベクトル空間の集合に包含される
というのは正しい。

＃つまりより上位の抽象概念であるということ。

でもこれは部分空間という関係ではないです。

No.9 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/18 18:00

R^2 ⊂ R^3 の話ですが、

R^3 における次元が２ の部分空間の一つが R^2
だと勘違いしているだけでは?
ビデオの説明はそんな感じです。

(1, 2) ∈ R^2 だけど (1, 2) ∈ R^3 ではないので
無理です。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
すごいわかりやすいです。
無理ですね。理解できました。

ちなみに、部分空間の例についてなんですが、
自身、{0}以外にもっと分かりやすいものはないでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/20 17:16

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/23 07:56

例えば (x, y, z) で z=0

とすると、次元=2 のベクトル空間になります。

これは、R^3 の部分空間です。

ビデオの先生のいいたかったのは
これでしょう。

この回答への補足

何度もご回答本当にありがとうございます。

すいません。やっぱりどうも理解できないです・・・

次元=2とは2次元の事でしょうか？

次元の定義なのですが、
Vの基底を構成するベクトルの個数をVの次元と言う。

基底を構成するベクトルの個数はその空間に対して常に一定
だと理解しています。

R^3必要な基底は3だから3次元。

(1, 2,0) ∈ R^3
なのに、なぜ2次元ベクトル空間なんでしょうか？

どこが理解できていないでしょうか？

何度も本当に申し訳ありません。
ご回答よろしくお願い致します。

補足日時：2014/06/24 01:10