数学の微分です

x=a(t-sint),y=(1-cost) のdy/dxを求める問題なのですがdy/dx=sint/1-costまでは出せました。答えをみてみるとdy/dx=cot(t/2)と書いてあったのですが変形の仕方がわかりません。回答お願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2014/08/25 20:52

x=a(t-sint),y=a(1-cost)

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=[asint]/[a(1-cost)]

=[2sin(t/2)cos(t/2)]/[1-(1-2sin^2(t/2))]（半角公式による）

=cos(t/2)/sin(t/2)=cot(t/2)

この回答へのお礼

ありがとうございます
理解できました＼(^o^)／

お礼日時：2014/08/25 21:29

No.2 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/08/25 20:43

>x=a(t-sin(t),y=(1-cos(t))

dx/dt=a(1-cos(t))より、dt/dx=1/{a(1-cos(t))}
dy/dt=sin(t)

dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)
=sin(t)/{a(1-cos(t))}
=(1/a){sin(t)/{(1-cos(t))}　（見やすいよう1/aは前に出してしまう））
=(1/a)[sin(t)(1+cos(t)}/{(1-cos(t))(1+cos(t))}]　（分子、分母に1+cos(t)を掛ける。※cos(t)=-1のときについて、本来は別途考慮する必要があるが、割愛）
=(1/a)[sin(t)(1+cos(t)}/{(1-(cos^2(t))}]
=(1/a){sin(t)(1+cos(t)}/(sin^2(t)}　（sin^2(t)+cos^2(t)=1より、sin^2(t)=1-cos^2(t)）
=(1/a){(1+cos(t)}/(sin(t)}　（分子、分母をsin(t)で割る。※sin(t)=0のときについて、本来は別途考慮する必要があるが、割愛）

　ここで以下のページなどに記載されている半角の公式を使います。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92 …
>cot(θ/2)
>=（中略）
>=(1+cosθ)/sinθ

　同じ型なので、使えます。先ほどの式を再掲して続けると、

=(1/a){(1+cos(t)}/(sin(t)}
=(1/a)cot(t/2)
=cot(t/2)/a

となります。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました

お礼日時：2014/08/25 21:29

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2014/08/25 20:13

a

がどっかに行っちゃっていますが、
いいんでしょうか。

この回答への補足

すみません抜けてました。
y=a(1-cost)です

補足日時：2014/08/25 20:15