定積分の回答と解説を教えてください。(1)∫［a-1.b1］(e^t-e^(-t))dt (2)∫

定積分の回答と解説を教えてください。(1)∫［a-1.b1］(e^t-e^(-t))dt
(2)∫ ［0.π］sin2xdx
(3)∫ ［0.2π］cos^2xdx
(4)∫ ［0.π/2］sin4θcos2θdθ
上端がb 下端がaです。
どうかお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/09/07 00:16

素直に計算するだけですが, なにがどうわからないんでしょうか?

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/08 15:00

みんな基本的なやり方でできるでしょう。

（１）∫[e^t - e^(-t)]dt = ∫[e^t]dt - ∫[e^(-t)]dt

後半は、Y=-t とでもおけば　dY/dt = -1 だから dt = -dY なので
　　∫[e^(-t)]dt = -∫[e^Y]dY = -e^Y + C1 = -e^(-t) + C1

結果は、e^t + e^(-t) + C

（２）2x=Y とおけば dY/dx = 2 だから dx = (1/2)dY
　∫sin(2x)dx = (1/2)∫sin(Y)dY = -(1/2)cos(Y) + C = -(1/2)cos(2x) + C

（３）cos^2(x) = [1 + cos(2x) ]/2　として、上の（２）のように 2x=Y とおけばよい。
　∫cos^2(x)dx = (1/2)∫[ 1 + cos(2x) ]dx = (1/2)∫dx + (1/4)∫cosYdY = (1/2)x + (1/4)sin(2x)

（４）sin(4θ)*cos(2θ)
= 2sin(2θ)*cos(2θ)*cos(2θ)
= 2sin(2θ)*cos^2(2θ)

　ここで Y = cos(2θ) とおけば、dY/dθ = -2sin(2θ) なので sin(2θ)dθ = -(1/2)dY となり
　∫sin(4θ)*cos(2θ)dθ = -∫Y^2 dY = -Y^3/3 + C = -(1/3)cos^3(2θ) + C