No.5ベストアンサー
- 回答日時:
No.1&3です。
各々のエネルギーを計算してみましょう。物体の質量を m として、当初の円運動の半径を R1 、角速度を ω1 とします。
その運動エネルギーは
E1 = (1/2)m*R1^2*ω1^2 ①
糸を引いて半径を R2 にしたときの角速度を ω2 とすると、その運動エネルギーは
E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2 ②
角運動量が保存されれば
L = m*R1^2*ω1 = m*R2^2*ω2 =const
より
ω2 = (R1/R2)^2 *ω1 ③
よって②は、③を使って
E2 = (1/2)m*R2^2*ω2^2
= (1/2)m*R2^2*[ (R1/R2)^2 *ω1 ]^2
= (1/2)m*(R1^4/R2^2) *ω1^2
= E1 * (R1^2/R2^2) ④
となることが分かります。(半径が 1/2 になれば、運動エネルギーは 4 倍になります)
一方、回転半径が r のときの遠心力は、外向きに
F = m*r*ω^2
であり、角運動量が一定なら L=m*r^2*ω=const より
ω = L/(m*r^2)
なので、遠心力は
F = L^2/(m*r^3)
と書けます。
この遠心力に逆らって、半径方向に微小変位 dr 分だけ移動するのに要する仕事は、(力)×(変位)なので
dW = -F*dr = -[ L^2/(m*r^3) ]dr
従って、半径 R1 から R2 に変化させるのに必要な仕事の総量は
W = ∫[R1→R2][ -L^2/(m*r^3) ]dr
= L^2/(2m)[ 1/r^2 ][R1→R2]
= L^2[ 1/R2^2 - 1/R1^2 ] /(2m)
= (1/2)L^2*(R1^2 - R2^2)/[ m(R1^2 * R2^2) ]
ここに L=m*R1^2*ω1 を代入すれば
W = (1/2)m*R1^2*ω1^2*(R1^2 - R2^2)/R2^2
= E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2 ⑤
ということになります。
半径を 1/2 にするには、当初の運動エネルギーの 3 倍のエネルギーに相当する仕事をしなければいけないことになります。
①④より、運動エネルギーの差は
E2 - E1
= E1 * (R1^2/R2^2) - E1
= E1 * (R1^2 - R2^2)/R2^2
ですから、⑤に一致することが分かります。
以上より、当初の半径を R1 の回転運動の運動エネルギーに対して、半径 R2 の回転運動の運動エネルギーは、半径を R1 から R2 に変化させるのに外から加えた仕事分だけ大きくなっていることが分かります。
No.4
- 回答日時:
>糸を引く力は物体の速度方向と常に垂直に働くにもかかわらず
ここが間違ってます。垂直にはなりません。
糸を引いた場合は、物体はらせんを描いて中心に近づきますが
この時の物体のコース(軌跡)と糸の方向は垂直ではありません。
絵を描けばすぐにわかります。
No.3
- 回答日時:
No.1です。
「増加はしていません」というのは、間違いですね。
半径を小さくするために、重りを「遠心力に逆らって、半径の差」だけ移動するために加えた「仕事」分だけ運動エネルギーは増加します。
この加えた「仕事」分を考慮すれば、トータルの「力学的エネルギー」は増加していない、ということです。
No.1
- 回答日時:
>物体の運動エネルギーが増加しているのがしっくりこない
そうですよ。増加はしていません。
回転運動の運動エネルギーは、慣性モーメントを I として
E = (1/2)Iω²
です。
半径が小さくなって「角速度 ω」は大きくなりますが、回転半径が小さくなるので「慣性モーメント I 」は小さくなります。
通常の
E = (1/2)mv²
を使って運動エネルギーを計算する場合には、回転運動の半径を r として
v = rω
より
E = (1/2)mr²ω²
です。「角速度 ω」は大きくなりますが、「回転運動の半径: r 」は小さくなりますよね。
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