数学の問題なのですが、aを実数とする。三次方程式であるx^3−4x+a=0の解が全て実数となる時のaの範囲を求めよ。
この問題を解く場合に、定数分離をおこなってグラフを把握し、その後のy=x^3−4xとy=−aで考えて、この2つのグラフが接するときも含めて3点で交わればいい。なぜ解が全て実数となる時に3点で交わればいいのでしょうか?
また極値を掛け合わせることで解こうとした場合に、かけて0以下となれば良いみたいなのですが、なぜそうなのか。また、かけて0より大きいのはなぜダメなのか。
解説をお願いします。
A 回答 (3件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.3
- 回答日時:
まずは二次方程式や二次関数に於いて、解が実数であるとはどういうことなのか、そして、「解が虚数であるというのはどういうことなのか」どういう状況なのか、をしっかり学んでください。
ちゃんとグラフで視覚的に把握できるようにならないと、実戦で使い物になりません。
くれぐれも、言葉の丸暗記で済ませることの無いように。
三次関数のグラフは、基本的に、上向きの瘤と下向きの瘤とが二つできます。
瘤無し、という状態もありますが、それがどういうケースなのかは、しっかり把握しておいてください。
ヒントは、瘤が二つあるということは、微分したときに傾きが0になる点が二つある、ということで、それは微分した二次関数がウンタラカンタラ、ということで、じゃぁ瘤無しは、ということです。
瘤無しの場合は、実数解は、一つしかありませんよね。当たり前。
瘤二つの場合、実数解が一つ、二つ、三つ、というケースがありますが、それぞれどういう場合なのか、大まかなグラフがきちんと描けるようになってください。
一つの実数解をtとすると、この三次関数は、x=tのときy=0となるので、
(x-t)(x2+px+q)=0
と書けるはずです。
では、あまり正確な書き方ではありませんが、実数解が一つの場合、二つの場合、三つの場合、(x2+px+q)はどんなことになっているでしょうか?
ちなみにもう一つ以上実数解が存在する場合、その一つをsとするなら、x=tでもy=0、x=sでもy=0ですから、この三次関数は、
(x-t)(x-s)(x+u)=0
なんて形になるはずです。「もう一つ解が存在するなら」ね。
このあたりは、つまり二次式の実数解がいくつなのか、虚数解がウンタラカンタラという話に持ち込めるのです。
三実数解の場合のグラフの形状がスラスラと把握できないと、極値を掛け合わせる話には持ち込めません。
瘤二つで一実数解の場合とどう違うのか、ということでもあります。
そもそも、実数解を持つとは、グラフの線がどうなっていれば良いのか、ということでもあります。
万人にスラスラ理解できることを書いたつもりはありませんから、解らないことがあったら質問してください。
No.2
- 回答日時:
例えば、2次関数の場合でも、x軸に交点がある場合は、実数解が存在しましたね!
そして、x軸に交点がない場合は、実数解は存在しませんが、複素数の範囲において
虚数解として存在しますね!それと同様に、3次の場合の極値は、1-2個ですね!
y=x^3ー4x=x(x+2)(xー2) なので、
x軸との交点は、ー2,0,2 の3点で交わりますね!ですから、
極値は、ー2 と0 の間で、正の範囲にありますし、もう一つは、
0 と ー2 の間で、負の範囲にあります。ですから、
極値を掛け合わせれば、負なので、0以下であって、正にはなりません!
よって、
y=ーa が重解も含めて交点が3つあればいいことになります。重解は2点としてカウントします!
No.1
- 回答日時:
三次方程式は、複素数の範囲で3つの解があります。
これがすべて実数だということは、グラフのx軸上に y=x^3-4xとy=-aが同じ値になる点があると言うことです。何個?
あと三次関数の極値は最大2個しかありません。
その値を掛けてマイナスになるとしたら、2個の符合の組み合わせは?
あとはグラフをじっくり眺めましょう。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 放物線と円の接点についてです。96(1)の、[1]で重解だと接することがよくわかりません。 xの2次 4 2022/12/24 17:59
- 大学受験 ある大学の数1,Aの過去問なのですが回答に解説がなく困っています。誰か解説をつけて欲しいです(><) 1 2022/11/05 12:57
- 数学 関数のグラフ 5 2023/07/20 23:57
- 数学 数2Bの数列の問題です。 自分は、 まず数列 an=ar^(n-1)と置き こちらの問題の、y= の 1 2022/07/07 16:26
- 数学 【 数I 二次方程式の実数解 】 問題 ※写真の(2) 解答 いずれか一方のみが実数解を持つため に 1 2022/06/25 17:36
- 数学 高2 数2 3 2022/06/20 21:39
- 数学 数学1の問題がわかりません。 次の関数において、頂点の座標と、[]内のxの値に対するyの値を求めよ。 3 2023/02/13 00:36
- 高校 三次関数のグラフにつきまして 3 2022/05/15 11:14
- 大学受験 ある大学の数1Aの問題なのですが、回答に解説がなく 困ってます。誰か解説をつけて欲しいです 2つのx 3 2022/11/11 22:50
- 数学 数学の問題でモヤモヤしてます 7 2023/08/15 21:49
関連するカテゴリからQ&Aを探す
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
現在中3です。y=a(x-p)+q ...
-
X²+X=0 この解き方がわかりま...
-
(a+b)(b+c)(c+a)の展開の仕方を...
-
数学Aです 正七角形について 3...
-
この答えとやり方を教えて下さ...
-
原点をOとする複素数平面上で0...
-
二次関数
-
高一数学です。とても困ってお...
-
2次方程式x^2 +2ax + a+ 6=0に...
-
トランプタワーの規則性について
-
数学についてです。 方程式を解...
-
数学IIについてです 極小値と最...
-
数学の問題なのですが、aを実数...
-
実数a,b,cがa+b+c=3を満たして...
-
二次関数y=x^2+(m-1)x+2m-1のグ...
-
次の問題をわかりやすく教えて...
-
直角三角形の時、斜辺の長さが...
-
x.yを自然数とする 3x+7yで表す...
-
数学Ⅱの領域の問題です。 x²+y²...
-
実数x、yがx^2+y^2=1を満たす...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
(a+b)(b+c)(c+a)の展開の仕方を...
-
X²+X=0 この解き方がわかりま...
-
現在中3です。y=a(x-p)+q ...
-
数学Aです 正七角形について 3...
-
数学Aの組み合わせの問題で、正...
-
(2)の問題です。 Xの4乗+4を因...
-
数I 2次関数の問題です aは正の...
-
ab+a -b -1の因数分解の解き方...
-
曲線y=X^3+X^2-1の接線で、原...
-
三角形って全部円に内接しますか?
-
数学IIについてです 極小値と最...
-
x^3+64=0 を解けという問題がわ...
-
y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)-1 の最...
-
高一数学です。とても困ってお...
-
三角形ABCの重心と3点ABCから等...
-
この答えとやり方を教えて下さ...
-
数学についてです。 方程式を解...
-
2次方程式 x ^2+2(m-3)x+4m=0...
-
こちらの画像で3つの式を辺々足...
-
数 2の問題です!円X 2乗+y2乗...
おすすめ情報