158番を教えてください

158番を教えてください

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/06/29 00:04

(1)

Ｉは△ABCの内心だから
∠ABI=∠IBC　･････ ①
直線AB上に点Ｂの左側に点Ｐをとる
I₁は△ABCの傍心だから
∠CBI₁=∠I₁BP　･････ ②
∠ABI+∠IBC+∠CBI₁+∠I₁BP=180°
①、②より
2(∠IBC+∠CBI₁)=180°
∠IBC+∠CBI₁=90°
∠IBI₁=90°


(2)　下のヒントを使う
△ABCの外接円と線分II₁との交点をＤとする

∠ABI=∠IBC=α
また、Ｉは△ABCの内心だから
∠BAI=∠CAI=β
とする

△DIBにおいて、
△ABIで、外角の性質より
∠DIB=∠ABI+∠BAI=α+β　･････ ③

弧CDに対する円周角だから
∠CBD=∠CAI=β

∠DBI=∠DBC+∠CBI=β+α　･････ ④

③、④より　底角が等しいから
△DIBは二等辺三角形になり
DB=DI　･････ ⑤


△DBI₁において、
∠DBI₁
=∠IBI₁－(∠IBC+∠CBD)
=90°－(α+β)
=90°－α－β　･････ ⑥

△BI₁Iで、
∠DI₁B
=180°－(∠IBI₁+∠DIB)
=180°－(90°+α+β)
=90°－α－β　･････ ⑦

⑥、⑦より　底角が等しいから
△DBI₁Bは二等辺三角形になり
DB=DI₁　･････ ⑧

⑤、⑧より
DI=DI₁
したがって、△ABCの外接円は線分II₁を２等分する