三角形ABCにおいて、角B=π/3 , Bの対辺の長さbは整数、他の2辺の長さa,cはいずれも素数。

三角形ABCにおいて、角B=π/3 , Bの対辺の長さbは整数、他の2辺の長さa,cはいずれも素数。
このとき、三角形ABCは正三角形であることを示せ。

よろしくお願いします！

No.7 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/08/06 05:17

肝心の質問者様が無言ですが...

(b + c - a)(b - c + a) = ca が成り立つことは, 理解できますか.
後は非常に簡単です.

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/08/05 00:14

実際のところ「明示していない」だけでいろいろな条件を使ってますよ＞#5.

例えば
s(b-c)=a-c
s=2, 3, 4, ･･･　だから
b-c<a-c
b<a
のところは
ａ≠ｃ
という仮定だけではダメです. ここは a>c という条件が必要ですね.

そして読んでいくと「b は整数」という条件もちゃっかり使っています. #5 では何も書いてありませんが, この条件を使わないと途中でこけます.

No.5 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/08/04 22:46

B=π/3　だから

ａ＝ｃ　だと　正三角形　になってしまう

なので
ａ≠ｃ　と仮定して矛盾をだせば・・・？？


余弦定理より
b^2=c^2+a^2-2cacosπ/3
b^2=c^2+a^2-2ca･1/2
b^2=c^2+a^2-ca　･････ ①

① より
b^2-c^2=a^2-ca　･････ ②
(b+c)(b-c)=a(a-c)　･････ ③
ａ≠ｃ より　（ｂ≠ｃ）

（注）　ａ＝ｃ　だと　右辺が　０　になり、
　　　それと等しい　左辺も　０　になり、　ｂ＝ｃ　となって
　　　ａ＝ｂ＝ｃ　になるわけですが、
　　　これだと、ａ，ｂ，ｃ　がどんな値でもよく　
　　　ｂ　が整数、　ａ　や　ｃ　が　素数である　ことを使っていません。


ここで、三角形の３辺の性質
三角形の２辺の長さの和は、他の１辺の長さより大きい。
三角形の２辺の長さの差は、他の１辺の長さより小さい。
から、

b-c<a<b+c
a は素数だから
b+c=sa (s=2, 3, 4, ･･･)
とおける。
これを②に代入して
sa(b-c)=a(a-c)
s(b-c)=a-c
s=2, 3, 4, ･･･　だから
b-c<a-c
b<a

a>0, b>0 より、両辺を２乗して
b^2<a^2
両辺に-c^2を加えて
b^2-c^2<a^2-c^2
左辺に②を代入して
a^2-ca<a^2-c^2
c^2<ca
c>0 より
c<a　･････ (ア)

また、①より
b^2-a^2=c^2-ca　･････ ④
(b+a)(b-a)=c(c-a)　･････ ⑤
ａ≠ｃ より　（ｂ≠ｃ）
同様にして
b-a<c<b+a
c は素数だから
b+a=tc　(t=2, 3, 4, ･･･)
⑤に代入して
tc(b-a)=c(c-a)
t(b-a)=c-a
b-a<c-a
b<c
b^2<c^2
b-2-a^2<c^2-a^2
④を代入して
c^2-ca<c^2-a^2
a^2<ca
a<c　･････ (イ)

ａ≠ｃ　と仮定すると(ア)、(イ)で矛盾する。

よって
ａ＝ｃ
このとき、頂角がπ/3の二等辺三角形だから、底角は
　(π-π/3)/2=π/3
となり、△ＡＢＣは正三角形になる。


ｂ が整数である　ことを使っていませんが・・・

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/08/04 14:34

いくらなんでもさすがに無理＞#3. B=π/3 という前提があるので A の条件は 0 < A < 2π/3 とした方がいいし, そうだとしても

f(A) = sin(A+π/3)/sin A
という関数を考えると連続かつ A→0 で無限大に発散し A=2π/3 で 0 になるから f(A) は任意の (正の) 実数値をとりうる. つまり, a と c を素数としたときに
c/a = sin(A+π/3)/sin A
を満たす A は必ず存在する. したがってこの条件から
a=c、かつ 0<A<πでsin(A+(π/3)) =sinAとなる必要
はない.

そもそも「Bの対辺の長さbは整数」という条件を使っていないし.

たぶん, 正弦定理を持ち出した時点で迷子になってるんだと思う.

No.3 回答者： metabolian 回答日時： 2017/08/04 01:57

正弦定理より、a/sinA=b/sinB=c/sinC

ここで題意より、B=π/3、C=π-(A+(π/3))

すると、a/sinA = b/sin(π/3) = c/sin(π-(A+(π/3)))
a/sinA = (2b/3)√3 = c/sin(A+(π/3)) …①

①の左辺と右辺を取り出して
a/sinA = c/sin(A+(π/3))
a・sin(A+(π/3)) =c・sinA

===================================
ここで、aとcが素数（⇒2以上の整数になる、１は素数ではない！）
であり、0<x<πで 0<sinx<1であることを考えると、
a=c、かつ 0<A<πでsin(A+(π/3)) =sinAとなる必要があり、
a=c、A=π/3といえる。
…と思うのですが、なんかちょっと強引な気もします。
===================================

よって、C=π-(A+(π/3))=π/3となり、
A=B=C(=π/3)となるので、△ABCは正三角形である。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/08/04 01:08

設問があってるか間違ってるかはともかくとして, そもそも質問は何ですか?

No.1 回答者： 銀鱗 回答日時： 2017/08/03 19:22

∠Bの対辺（辺AC）が10の場合、設問の条件から∠A、∠Cの対辺はそれぞれ10を選択することができないので、設問が間違っている。

…と自分なら回答するなあ。