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質量M、半径rの金属球と質量m,長さlの針金からなる振り子の慣性モーメントをどなたか教えてください。

質問者からの補足コメント

  • 針金の質量は無視できません
    あらかじめ質問文に書いてある通り、針金の質量はmです

      補足日時:2017/11/05 10:56

A 回答 (3件)

No.1です。

あら、ほんとだ。ちゃんと針金の質量 m と書いてありましたね。ということは、単位長さあたりの「線密度」は
 m/L (kg/m)
ということですね。

針金の「長さ x~x+dx」の質量は「(m/L)*dx」、半径は「x」ですから、その「極小部分」の慣性モーメント dI は、No.1に書いた「回転中心からの距離が r の、質量 M の質点の慣性モーメント = M*r^2」を使って
 dI = (m/L)*dx * x^2
です。
針金全体の慣性モーメントは、これを x=0~L で積分すれば求まります。つまり
 Is = ∫[0→L](m/L)x^2 dx = (m/L)[ x^3/3 ][0→L] = mL^3 /3L = mL^2 /3

「回転中心からの距離が L の、質量 M の質点の慣性モーメント」は
 Im = M*L^2
ですから、全体の慣性モーメントは
 I = Im + Is = M*L^2 + (1/3)m*L^2 = (M + m/3)L^2

いずれにせよ、慣性モーメントの基本中の基本ですよ。
http://eman-physics.net/dynamics/angular.html
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
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この回答へのお礼

ありがとうございます
まだ何も慣性モーメントについて知らないのですが、課題でこのような問題が出されたので…
詳しい解説ありがとうございました!

お礼日時:2017/11/05 11:21

針金の慣性モーメントは下記サイトの「端点まわりの慣性モーメント」を参考にしてください。


https://mathwords.net/itiyounabou
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この回答へのお礼

分かりやすいサイトでした
ありがとうございます!

お礼日時:2017/11/05 11:21

「長さ L の針金」って、質量があるのですか? 問題文に「質量を無視できる細い針金」とか書いてありませんか?



もし、針金の質量が無視できて、「回転中心からの距離が r の、質量 M の質点」の慣性モーメントなら、


「慣性モーメント」とは、「並進運動」の運動量「p=mv=m*dx/dt」に対する「回転運動」の運動量(角運動量)は
 L = I*ω = I*dθ/dt    ①
(L:角運動量、ω:角速度、θ:座標角、I:慣性モーメント)
であり、並進運動の「質量」に対応するものが、回転運動の「慣性モーメント」ということになります。

ここで、「回転中心からの距離が r の、質量 M の質点」の角運動量は
 L = r*M*v = r*M*(rω) = M*r^2*ω
なので、①式と比較すれば
 I = M*r^2
であることが分かります。

もし「針金」の質量も考慮するのなら、針金の質量もしくは「単位長さあたりの密度」などの条件を指定してください。
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Aベストアンサー

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
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その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
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Aベストアンサー

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
を計算します。

振り子全体の慣性モーメントは、回転中心からの慣性モーメントだと思うので、積分によって求めた、鉄の棒と立方体の重心周りの慣性モーメントを用いて、運動エネルギーを出します。

平面上の振り子運動だと思うので、
角度をθ、重心までの距離をr1,r2などと置いて、それぞれの重心のx座標、y座標をr、θで表します。
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(振り子の回転中心は動かないので上記の形にかけます)
(鉄の棒と立方体は重心中心の慣性モーメントなので、重心が動くので(*)の形でかけます)

慣性モーメントは、
回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%85%A3%E6%80%A7%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88
を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
I=∫[-L/2→L/2] m1/L * r^2 dr
立方体
I=∫∫∫[x:-a/2→a/2 y:-a/2→a/2 z:-a/2→a/2] m2/a^3*√(x^2+y^2+z^2) dxdydz
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Aベストアンサー

>おもりをぶらさげた状態で、針金がところどころうねっている部分があった

針金にそういう曲がりやねじれが付いているとよくないですね。

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どれくらいの精度の実験をするかによりますが高い精度は期待できないでしょう。
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Qボルダの振り子

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いらっしゃいましたらお願いします。

Aベストアンサー

ご質問と同じ実験が載っているサイトがありました。

http://zairyo.susi.oita-u.ac.jp/exp/jikkenhouhou2.html

個人的な感想です。私もこの実験がよく分かりません。
こういう実験をやらされると実験がいやになると思います。
gの値が知りたいのか装置の精度が知りたいのかがよく分からないからです。振り子の減衰の程度がどれくらいかという単振子の性質が知りたいのかも知れません。測定の精度を上げるためにはどういう注意が要るかを知らせるためのものなんでしょうか。

高校レベルであれば9.8が出れば充分です。9.80が出れば逆に「?」ということになります。

参考URLでは0.01秒まで測定するとなっています。1回当たりでいうと0.0001秒まで出しています。100回測定はそのためです。

結果は980.47±0.23となっています。
あれだけ面倒なことをやって980.2~980.7です。

京大と東大での測定値が理科年表に載っています。

979.70727(京大・・・・国際基準点)
979.78872(東大)


まず私には0.01秒まで測る装置と読みとり方法が分かりません。ストップウォッチでは無理です。人の動作がどこかに入っている限り可能なのは0.1秒でしょう。これもかなりばらつくでしょう。10回まとめて10で割るということで0.01秒に出来ます。100回まとめて100で割るということで0.001秒に出来ます。減衰の影響も調べておかないといけません。減衰が大きければ100回での操作は意味を持ちません。

ご質問と同じ実験が載っているサイトがありました。

http://zairyo.susi.oita-u.ac.jp/exp/jikkenhouhou2.html

個人的な感想です。私もこの実験がよく分かりません。
こういう実験をやらされると実験がいやになると思います。
gの値が知りたいのか装置の精度が知りたいのかがよく分からないからです。振り子の減衰の程度がどれくらいかという単振子の性質が知りたいのかも知れません。測定の精度を上げるためにはどういう注意が要るかを知らせるためのものなんでしょうか。

高校レベルであれば9.8...続きを読む

Q振り子について

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Aベストアンサー

eatern27 さんと本質的に同じことですが...

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その計算法は増減重による尺度変化の平均がそれぞれa(初期状態)、b、c、d、e、fであるのに対してd-a、e-b、f-cの平均値を求めるというものでした。
何故a、b、c、d、e、fを足して5で割るという方法ではなくわざわざこのようなやり方をしたのでしょうか。
調べてみるとd-a、e-b、f-cはそれぞれ「おもりの質量の中央値に対する変化」らしいのですがどういうことかわかりません。
解説や考えるヒントを教えて下さい。

Aベストアンサー

言われてみると「なあんだ」ということになるかと思います。
あと一つ確認なのですが、a~fはたわみの読みそのものなのかその差分なのか質問文ではっきりしません。もし直接の読みだとすると、a~fを足して5で割って得られた数字には物理的な意味がないことになります。直接の読みでなく差分であればd-a, e-b, f-cを作って平均するとほとんどゼロになってしまいます。念のためご確認下さい。

以下は本サイトで、以前に私が類似の質問に答えた内容を再編集したものです。

さておもりを全く乗せないときのたわみ量をy[0]、一つ乗せたときのそれをy[1]、以下n個乗せたときのそれをy[n]とします。

最初のおもりを乗せたときのたわみ量の増分は
y[1]-y[0]   (1)
次のおもりを乗せたときの増分は
y[2]-y[1]   (2)
その次のおもりについては順に
y[3]-y[2]   (3)
y[4]-y[3]   (4)
となります。
sumosb004さんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
y[5]-y[4]   (5)
となります。

さて200gのおもりに対するたわみ量のデータが5つ得られましたので、これを平均してみましょう。(1)~(5)を足して5で割ればよさそうなのですが・・・
{y[1]-y[0]+y[2]-y[1]+y[3]-y[2]+y[4]-y[3]+y[5]-y[4]}÷5
={y[5]-y[0]}÷5   (6)
となって、実際に活用されているデータはy[5]とy[0]だけ、すなわち2点だけで平均を取っていることになってしまいます。y[1]~y[4]はせっかくデータを取ったのに計算に入ってきていません。

これは差分データを取って最後に平均するときにしばしば遭遇する落とし穴です。
ではどうすればよいのかというと以下のようにやります。データは加算か減算かで1回だけ使い、差し引きでデータが消えてしまわないようにするのです。

今回はおもりを5個乗せていますから、y[0]~y[5]までの6つのデータがあります。それを上半分(y[5]~y[3])と下半分(y[2]~y[0])の2グループに分け、以下のように組み合わせて
y[5]-y[2]   (7)
y[4]-y[1]   (8)
y[3]-y[0]   (9)
の3つの差分を作ります。いずれもおもり3個分に対するたわみ量の増分に相当し、sumosb004さんのおっしゃるd-a, e-b, f-cに(おそらく)対応します。これを図的に表すと下のようになります。(等幅フォントでご覧下さい)

y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5]
─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
     ┗━━━━━┛→(7)
   ┗━━━━━┛→(8)
 ┗━━━━━┛→(9)

(7)~(9)を足して平均をします。この平均は
(y[5]-y[2]+y[4]-y[1]+y[3]-y[0])÷3   (10)
ですから、(6)のように差し引きで消えてしまうことはありません。ただし(10)はおもり3個分に対する歪みの増分ですから、おもり1個分に換算するにはさらに3で割って下さい。

あとは計算式に当てはめればヤング率を求めることができます。
またNo.1で「線形性からのずれ」の指摘がありますが、上記の説明を読めばそれはせいぜい副次的な問題でしかないこともお分かりかと思います。

参考URLのページなどもぜひ読んでみて下さい。
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

参考URL:http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

言われてみると「なあんだ」ということになるかと思います。
あと一つ確認なのですが、a~fはたわみの読みそのものなのかその差分なのか質問文ではっきりしません。もし直接の読みだとすると、a~fを足して5で割って得られた数字には物理的な意味がないことになります。直接の読みでなく差分であればd-a, e-b, f-cを作って平均するとほとんどゼロになってしまいます。念のためご確認下さい。

以下は本サイトで、以前に私が類似の質問に答えた内容を再編集したものです。

さておもりを全く乗せないときのた...続きを読む

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
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そうすると
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tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
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たとえば、水に硫酸を溶かすと硫酸が電離して、HSO4^-やSO4^2-になるというのを聞いたことがありますよね。
こうなることによって、H3O+(H+と書くこともありますが同じものと考えて下さい)を生じて、これが酸性の元になっています。

つまり、酸性というのはH3O+が多いという意味であり、これは硫酸が水にH+を与えることによって生じたものです。
すなわち、硫酸は水にH+を与えやすいと言えます。

それならばエタノールはどうかといえば、化学的には水のHの片方がエチル基(C2H5)で置き換わったものですので、乱暴な言い方をすれば、半分は水の性質を残しています。
つまり、エタノールのOH基は水と同じように硫酸からH+を受け取りやすい性質があるのです。
したがって、水の場合と同様にH+を受けとって安定化し、熱を発生するというわけです。

Q大学物理の問題

以下の問題がわかりません・・・。解説をお願いしたいです。

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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

円盤の慣性モーメント I = (1/2)Ma^2 + Mb^2
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以上から運動方程式は

Id^2θ/dt^2=-bMgθ

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Qヤング率の測定

学校の実験でわからないことがあるので教えてください。

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おもりを全く乗せないときのたわみ量をy[0]、
一つ乗せたときのそれをy[1]、
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最初のおもりを乗せたときのたわみ量の増分は
y[1]-y[0]   (1)
次のおもりを乗せたときの増分は
y[2]-y[1]   (2)
その次のおもりについては順に
y[3]-y[2]   (3)
y[4]-y[3]   (4)
となります。
mag44tedさんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
y[5]-y[4]   (5)
となります。

さて200gのおもりに対するたわみ量のデータが5つ得られましたので、これを平均してみましょう。(1)~(5)を足して5で割ればよさそうなのですが・・・
{y[1]-y[0]+y[2]-y[1]+y[3]-y[2]+y[4]-y[3]+y[5]-y[4]}÷5
={y[5]-y[0]}÷5   (6)
となって、実際に活用されているデータはy[5]とy[0]だけ、すなわち2点だけで平均を取っていることになってしまいます。y[1]~y[4]はせっかくデータを取ったのに計算に入ってきていません。

これは差分データを取って最後に平均するときにしばしば遭遇する落とし穴です。
ではどうすればよいのかというと以下のようにやります。データは加算か減算かで1回だけ使い、差し引きでデータが消えてしまわないようにするのです。

今回はおもりを5個乗せていますから、y[0]~y[5]までの6つのデータがあります。それを上半分(y[5]~y[3])と下半分(y[2]~y[0])の2グループに分け、以下のように組み合わせて
y[5]-y[2]   (7)
y[4]-y[1]   (8)
y[3]-y[0]   (9)
の3つの差分を作ります。いずれもおもり3個分に対するたわみ量の増分に相当します。これを図的に表すと下のようになります。(等幅フォントでご覧下さい。少しずれがあるかも知れませんので補正しながら読んで下さい)

y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5]
 ─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
      ┗━━━━━┛→(7)
    ┗━━━━━┛→(8)
  ┗━━━━━┛→(9)

(7)~(9)を足して平均をします。この平均は
(y[5]-y[2]+y[4]-y[1]+y[3]-y[0])÷3   (10)
ですから、(6)のように差し引きで消えてしまうことはありません。ただし(10)はおもり3個分に対する歪みの増分ですから、おもり1個分に換算するにはさらに3で割って下さい。

あとは数式に当てはめればヤング率を求めることができます。

参考URLのページなどもぜひ読んでみて下さい。
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

参考URL:http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

おもりを全く乗せないときのたわみ量をy[0]、
一つ乗せたときのそれをy[1]、
以下、n個乗せたときのそれをy[n]とします。

最初のおもりを乗せたときのたわみ量の増分は
y[1]-y[0]   (1)
次のおもりを乗せたときの増分は
y[2]-y[1]   (2)
その次のおもりについては順に
y[3]-y[2]   (3)
y[4]-y[3]   (4)
となります。
mag44tedさんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
y[5]-y[4]   (5)
となります。

さて200gのおもりに対するたわみ量のデータが5つ得られま...続きを読む


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