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質量M、半径rの金属球と質量m,長さlの針金からなる振り子の慣性モーメントをどなたか教えてください。

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  • 質問者：kenty1111111
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

質量M、半径rの金属球と質量m,長さlの針金からなる振り子の慣性モーメントをどなたか教えてください。

質問者からの補足コメント

  • 針金の質量は無視できません
    あらかじめ質問文に書いてある通り、針金の質量はmです

      補足日時：2017/11/05 10:56
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A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

No.1です。

あら、ほんとだ。ちゃんと針金の質量 m と書いてありましたね。ということは、単位長さあたりの「線密度」は
　m/L (kg/m)
ということですね。

針金の「長さ x～x+dx」の質量は「(m/L)*dx」、半径は「x」ですから、その「極小部分」の慣性モーメント dI は、No.1に書いた「回転中心からの距離が r の、質量 M の質点の慣性モーメント = M*r^2」を使って
　dI = (m/L)*dx * x^2
です。
針金全体の慣性モーメントは、これを x=0～L で積分すれば求まります。つまり
　Is = ∫[0→L](m/L)x^2 dx = (m/L)[ x^3/3 ][0→L] = mL^3 /3L = mL^2 /3

「回転中心からの距離が L の、質量 M の質点の慣性モーメント」は
　Im = M*L^2
ですから、全体の慣性モーメントは
　I = Im + Is = M*L^2 + (1/3)m*L^2 = (M + m/3)L^2

いずれにせよ、慣性モーメントの基本中の基本ですよ。
http://eman-physics.net/dynamics/angular.html
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
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この回答へのお礼

ありがとうございます
まだ何も慣性モーメントについて知らないのですが、課題でこのような問題が出されたので…
詳しい解説ありがとうございました!

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お礼日時：2017/11/05 11:21

No.2

  • 回答者： kuroki55
  • 回答日時：

針金の慣性モーメントは下記サイトの「端点まわりの慣性モーメント」を参考にしてください。


https://mathwords.net/itiyounabou
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この回答へのお礼

分かりやすいサイトでした
ありがとうございます!

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お礼日時：2017/11/05 11:21

No.1

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

「長さ L の針金」って、質量があるのですか？　問題文に「質量を無視できる細い針金」とか書いてありませんか？



もし、針金の質量が無視できて、「回転中心からの距離が r の、質量 M の質点」の慣性モーメントなら、


「慣性モーメント」とは、「並進運動」の運動量「p=mv=m*dx/dt」に対する「回転運動」の運動量（角運動量）は
　L = I*ω = I*dθ/dt　　　　①
（L：角運動量、ω:角速度、θ：座標角、I：慣性モーメント）
であり、並進運動の「質量」に対応するものが、回転運動の「慣性モーメント」ということになります。

ここで、「回転中心からの距離が r の、質量 M の質点」の角運動量は
　L = r*M*v = r*M*(rω) = M*r^2*ω
なので、①式と比較すれば
　I = M*r^2
であることが分かります。

もし「針金」の質量も考慮するのなら、針金の質量もしくは「単位長さあたりの密度」などの条件を指定してください。
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回転中心をどこに取るかによって異なります。

定義は
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を見てください。

おそらくは重心周りの慣性モーメントだと思うので、
鉄の棒では密度を線密度に置き換えて積分してください。
鉄の棒
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立方体
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言われてみると「なあんだ」ということになるかと思います。
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以下は本サイトで、以前に私が類似の質問に答えた内容を再編集したものです。

さておもりを全く乗せないときのたわみ量をy[0]、一つ乗せたときのそれをy[1]、以下n個乗せたときのそれをy[n]とします。

最初のおもりを乗せたときのたわみ量の増分は
y[1]-y[0]　　　(1)
次のおもりを乗せたときの増分は
y[2]-y[1]　　　(2)
その次のおもりについては順に
y[3]-y[2]　　　(3)
y[4]-y[3]　　　(4)
となります。
sumosb004さんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
y[5]-y[4]　　　(5)
となります。

さて200gのおもりに対するたわみ量のデータが5つ得られましたので、これを平均してみましょう。(1)～(5)を足して5で割ればよさそうなのですが・・・
{y[1]-y[0]+y[2]-y[1]+y[3]-y[2]+y[4]-y[3]+y[5]-y[4]}÷5
={y[5]-y[0]}÷5　　　(6)
となって、実際に活用されているデータはy[5]とy[0]だけ、すなわち2点だけで平均を取っていることになってしまいます。y[1]～y[4]はせっかくデータを取ったのに計算に入ってきていません。

これは差分データを取って最後に平均するときにしばしば遭遇する落とし穴です。
ではどうすればよいのかというと以下のようにやります。データは加算か減算かで1回だけ使い、差し引きでデータが消えてしまわないようにするのです。

今回はおもりを5個乗せていますから、y[0]～y[5]までの6つのデータがあります。それを上半分(y[5]～y[3])と下半分(y[2]～y[0])の2グループに分け、以下のように組み合わせて
y[5]-y[2]　　　(7)
y[4]-y[1]　　　(8)
y[3]-y[0]　　　(9)
の3つの差分を作ります。いずれもおもり3個分に対するたわみ量の増分に相当し、sumosb004さんのおっしゃるd-a, e-b, f-cに(おそらく)対応します。これを図的に表すと下のようになります。(等幅フォントでご覧下さい)

y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5]
─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
　　　　　┗━━━━━┛→(7)
　　　┗━━━━━┛→(8)
　┗━━━━━┛→(9)

(7)～(9)を足して平均をします。この平均は
(y[5]-y[2]+y[4]-y[1]+y[3]-y[0])÷3　　　(10)
ですから、(6)のように差し引きで消えてしまうことはありません。ただし(10)はおもり3個分に対する歪みの増分ですから、おもり1個分に換算するにはさらに3で割って下さい。

あとは計算式に当てはめればヤング率を求めることができます。
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参考URLのページなどもぜひ読んでみて下さい。
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

参考URL：http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

言われてみると「なあんだ」ということになるかと思います。
あと一つ確認なのですが、a～fはたわみの読みそのものなのかその差分なのか質問文ではっきりしません。もし直接の読みだとすると、a～fを足して5で割って得られた数字には物理的な意味がないことになります。直接の読みでなく差分であればd-a, e-b, f-cを作って平均するとほとんどゼロになってしまいます。念のためご確認下さい。

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もう１回ｔで微分すると
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これらを当初の方程式に代入すれば
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y[1]-y[0]　　　(1)
次のおもりを乗せたときの増分は
y[2]-y[1]　　　(2)
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y[3]-y[2]　　　(3)
y[4]-y[3]　　　(4)
となります。
mag44tedさんの実験では5個までおもりを乗せていますから、増分の最後は
y[5]-y[4]　　　(5)
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={y[5]-y[0]}÷5　　　(6)
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ではどうすればよいのかというと以下のようにやります。データは加算か減算かで1回だけ使い、差し引きでデータが消えてしまわないようにするのです。

今回はおもりを5個乗せていますから、y[0]～y[5]までの6つのデータがあります。それを上半分(y[5]～y[3])と下半分(y[2]～y[0])の2グループに分け、以下のように組み合わせて
y[5]-y[2]　　　(7)
y[4]-y[1]　　　(8)
y[3]-y[0]　　　(9)
の3つの差分を作ります。いずれもおもり3個分に対するたわみ量の増分に相当します。これを図的に表すと下のようになります。(等幅フォントでご覧下さい。少しずれがあるかも知れませんので補正しながら読んで下さい)

y[0] y[1] y[2] y[3] y[4] y[5]
　─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼
　　　　　　┗━━━━━┛→(7)
　　　　┗━━━━━┛→(8)
　　┗━━━━━┛→(9)

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(y[5]-y[2]+y[4]-y[1]+y[3]-y[0])÷3　　　(10)
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あとは数式に当てはめればヤング率を求めることができます。

参考URLのページなどもぜひ読んでみて下さい。
http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

参考URL：http://www.kdcnet.ac.jp/buturi/kougi/buturiji/young/exp1.htm

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一つ乗せたときのそれをy[1]、
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最初のおもりを乗せたときのたわみ量の増分は
y[1]-y[0]　　　(1)
次のおもりを乗せたときの増分は
y[2]-y[1]　　　(2)
その次のおもりについては順に
y[3]-y[2]　　　(3)
y[4]-y[3]　　　(4)
となります。
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