![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67)
aとmは正の定数とする。
放物線P : y=1/4a x ²と
中心(0 , m ) の円Cについて
円Cが放物線Pと一点のみを共有するような
mの範囲を求めよという問題です。
解答では共有点が原点であるので円Cの方程式
x ²+(y-m) ²=m ²に
y=1/4a x ²を変形したx ²=4ayを代入して整理して
y=0 , 2(m-2a) としています。
私は円Cと放物線Pが原点で交わるので
2(m-2a)=0だと思ったのですが
解答では2(m-2a) ≦0 または2(m-a) ≧2mとしています
y=2(m-2a)は放物線Pと円Cの交点を表すと思うのですがaとmが正であるのにどうして交点の座標が
マイナスになることを考えているんでしょうか?
また2(m-a) ≧2mについてもよくわかりません
円の直径を超える範囲で放物線Pと円Cが交わったとき
原点で共有点を持たないと思うのですが。
分かりやすく教えていただければ幸いです。
A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
放物線P : y=(1/4a) x²__①
と中心(0 , m ) の円C
x²+(y-m)²=m²__②
が一点のみを共有するようなmの範囲を求めよ。
共有点が原点であるので、①のy=(1/4a) x²を円Cの方程式②に入れると
x²+((1/4a) x²-m)²=m²__③
(1/4a) x²=t__④
と置くと、
x²=4at__⑤
③は⑥となり、⑦となる。
4at+(t-m)²=m²__⑥
t²-2mt+4at=0__⑦
t=0,またはt-2m+4a=0となる。
t=0は、交点として、原点の解を与える。
一方、t-2m+4a=0からは、t=2m-4a__⑧
これを⑤に入れると⑨となる。
x²=4at=4a(2m-4a)__⑧
a>0だから、2m-4a<0であれば、x=±√(4a(2m-4a))は実数根とならない。
また2m-4a=0のときはx=±√(4a(2m-4a))は実数根になるが、そのxは0で
交点は原点である。よって2m-4a<0であればよい。答えは⑨となる。
m≦2a__⑨
解説:③はxの4次方程式です。2次方程式しだけで議論をしても解は正しくでるが、
簡単すぎて、答えの解釈が分かりにくい。
こまかいことをいえば、m>0の条件は問題の中から仮定しているので、答えに入れる必要
はないから、答えは0<m≦2aでなくて、m≦2aでよいはず。
図のm>2aの円と放物線とは、原点以外の2個の交点をもつ。
m=2aの時、円と放物線とは、原点で四重解で接触する。
m<2aの時、円が小さいので、円と放物線は原点以外の交点はない。
![「aとmは正の定数とする。 放物線P : 」の回答画像4](http://oshiete.xgoo.jp/_/bucket/oshietegoo/images/media/4/542555947_5b1a385ff0c22/M.png)
No.2
- 回答日時:
ANo.1です。
>原点以外で交わることがあるとということは
>わかるんですが、放物線Pと円Cは二つとも
>y軸に対して対称ですよね?ですので一点のみ
>交わる場合それは原点以外にないと思うのですが
>また、半径についてですが、問題文には記述がありません。以下解答を、そのまま載せます。
すみません、自分が質問の問題をきちんと理解していませんでした。
y軸対称の放物線Pと中心(0,m)の円Cが一点のみ共有するのであれば、元の質問に書かれている通り原点(0,0)以外ありません。これは中心(0,m)の半径がmであることを示しています。よって、
x^2 + (y-m)^2 = m^2
でなければなりません。
次に、y=(1/4a)*x^2より、x^2=4ayとなり、上記を代入すると、
4ay + (y-m)^2 =m^2
4ay + y^2 - 2my + m^2 =m
y^2 - 2(m-2a)y=0
y(y-2(m-2a))=0
y=0, 2(m-2a)
また、y=(1/4a)*x^2は下に凸の放物線で、x^2 + (y-m)^2 = m^2と一点のみ交わるので、yは重解である必要がある。このことより、y=2(m-2a)=0でなければならない。
2(m-2a)=0
m-2a=0
m=2a (a,m:正の数)
解答が間違っていると思われます。
No.1
- 回答日時:
円Cが(0,m)に中心があるということは、言い換えればy軸上に円Cの中心があるということです。
放物線の開き具合(aの値)と、円Cの中心(0,m)の位置関係(mの値)および半径が一定もしくはmと連動するのであれば、位置関係によっては原点ではなく、円周上で接する場合があります。
それよりも気になるのは、円Cの半径です。
問題文には円Cの半径について何も記載がないのに、解答にある円の方程式では=m^2とあることから半径mと読み取れます。半径mはどこから出てきたのでしょうか?
仮に問題文に円Cの半径について何も記載がないなら、解答不能(解答は間違い)になります。
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原点以外で交わることがあるとということは
わかるんですが、放物線Pと円Cは二つとも
y軸に対して対称ですよね?ですので一点のみ
交わる場合それは原点以外にないと思うのですが
ですので2(mー2a)=0と思ったのですが、
解答では円Cと放物線Pが一点のみを
共有するのは2(mー2a) ≦0または
2(mー2a) ≧2mのときであるとしているのですが
どうゆう意味なのでしょうか?
また、半径についてですが、問題文には記述がありません。以下解答を、そのまま載せます。
a >0であるからPは下に凸の放物線である。
また、m >0であるから円Cの中心のy座標は正である
よって、円Cと放物線Pが一点のみを共有するときの
共有点は(0.0)である。
したがって、円Cの方程式は次のように表される。
x ²+(yーm) ²=m ²
円Cと放物線Pの共有点のy座標は上の方程式と
y=1/4a x ²すなわちx ²=4ayからx ²を消去して
4ay+(yーm) ²=m ²
ゆえにy ²ー2(mー2a)y=0
よってy「yー2(mー2a)」=0
ゆえにy=0 .2(mー2a)
円Cと放物線Pが一点のみを共有するのは
2(mー2a)≦0または 2(mー2a)≧2mのときである
2(mー2a) ≦0からm ≦2a
2(mー2a) ≧2mからa≦0 これは0が正であることに
反する。したがって0 <m ≦2a
ありがとうございます。一応市販の問題集なのですが… ヤフー知恵袋の方でも質問させていただきましたので、しばらく時間をおいて、解決しない場合
出版社に問い合わせようと思います…
物静かな先生で、話しかけずらいので
ここで質問させていただいたのですが・・・
急いでいるわけではないので、もう少し
待ってみようと思います。
ヤフー知恵袋の方でも質問させていただいて
そちらの方で理解できましたので、
この質問は打ち切らせていただきます。
回答してくださった方、ありがとうございました(^。^)