aとmは正の定数とする。 放物線P : y＝1／4a x ²と 中心(0 , m ) の円Cについて

aとmは正の定数とする。
放物線P : y＝1／4a x ²と
中心(0 , m ) の円Cについて
円Cが放物線Pと一点のみを共有するような
mの範囲を求めよという問題です。
解答では共有点が原点であるので円Cの方程式
x ²＋(y-m) ²＝m ²に
y＝1／4a x ²を変形したx ²＝4ayを代入して整理して
y＝0 , 2(m-2a) としています。
私は円Cと放物線Pが原点で交わるので
2(m-2a)＝0だと思ったのですが
解答では2(m-2a) ≦0 または2(m-a) ≧2mとしています
y＝2(m-2a)は放物線Pと円Cの交点を表すと思うのですがaとmが正であるのにどうして交点の座標が
マイナスになることを考えているんでしょうか?
また2(m-a) ≧2mについてもよくわかりません
円の直径を超える範囲で放物線Pと円Cが交わったとき
原点で共有点を持たないと思うのですが。
分かりやすく教えていただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

• 原点以外で交わることがあるとということは
  わかるんですが、放物線Pと円Cは二つとも
  y軸に対して対称ですよね？ですので一点のみ
  交わる場合それは原点以外にないと思うのですが
  ですので2(mー2a)＝0と思ったのですが、
  解答では円Cと放物線Pが一点のみを
  共有するのは2(mー2a) ≦0または
  2(mー2a) ≧2mのときであるとしているのですが
  どうゆう意味なのでしょうか？
  また、半径についてですが、問題文には記述がありません。以下解答を、そのまま載せます。

    補足日時：2018/06/05 22:18

• a ＞0であるからPは下に凸の放物線である。
  また、m ＞0であるから円Cの中心のy座標は正である
  よって、円Cと放物線Pが一点のみを共有するときの
  共有点は(0.0)である。
  したがって、円Cの方程式は次のように表される。
  x ²＋(yーm) ²＝m ²
  円Cと放物線Pの共有点のy座標は上の方程式と
  y＝1／4a x ²すなわちx ²＝4ayからx ²を消去して
  4ay＋(yーm) ²＝m ²
  ゆえにy ²ー2(mー2a)y＝0
  よってy「yー2(mー2a)」＝0
  ゆえにy＝0 .2(mー2a)
  円Cと放物線Pが一点のみを共有するのは
  2(mー2a)≦0または 2(mー2a)≧2mのときである
  2(mー2a) ≦0からm ≦2a
  2(mー2a) ≧2mからa≦0 これは0が正であることに
  反する。したがって0 ＜m ≦2a

    補足日時：2018/06/05 22:19

• ありがとうございます。一応市販の問題集なのですが… ヤフー知恵袋の方でも質問させていただきましたので、しばらく時間をおいて、解決しない場合
  出版社に問い合わせようと思います…

    補足日時：2018/06/05 23:20

• 物静かな先生で、話しかけずらいので
  ここで質問させていただいたのですが・・・
  急いでいるわけではないので、もう少し
  待ってみようと思います。

    補足日時：2018/06/06 20:14

• ヤフー知恵袋の方でも質問させていただいて
  そちらの方で理解できましたので、
  この質問は打ち切らせていただきます。
  回答してくださった方、ありがとうございました(^｡^)

    補足日時：2018/06/10 13:19

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/06/08 17:41

放物線P : y＝(1/4a) x²＿＿①

と中心(0 , m ) の円C
x²＋(y－m)²＝m²＿＿②
が一点のみを共有するようなmの範囲を求めよ。
共有点が原点であるので、①のy＝(1/4a) x²を円Cの方程式②に入れると
x²＋((1/4a) x²－m)²＝m²＿＿③
(1/4a) x²=t＿＿④
と置くと、
x²=4at＿＿⑤
③は⑥となり、⑦となる。
4at＋(t－m)²＝m²＿＿⑥
t²－2mt+4at=0＿＿⑦
t=0，またはt－2m+4a=0となる。
t=0は、交点として、原点の解を与える。
一方、t－2m+4a=0からは、t=2m－4a＿＿⑧
これを⑤に入れると⑨となる。
x²=4at=4a(2m－4a)＿＿⑧
a>0だから、2m－4a<0であれば、x=±√(4a(2m－4a))は実数根とならない。
また2m－4a=0のときはx=±√(4a(2m－4a))は実数根になるが、そのxは0で
交点は原点である。よって2m－4a<0であればよい。答えは⑨となる。
m≦2a＿＿⑨
解説：③はxの4次方程式です。2次方程式しだけで議論をしても解は正しくでるが、
簡単すぎて、答えの解釈が分かりにくい。
こまかいことをいえば、m>0の条件は問題の中から仮定しているので、答えに入れる必要
はないから、答えは0<m≦2aでなくて、m≦2aでよいはず。
図のm＞2aの円と放物線とは、原点以外の2個の交点をもつ。
ｍ=2aの時、円と放物線とは、原点で四重解で接触する。
ｍ<2aの時、円が小さいので、円と放物線は原点以外の交点はない。

No.3 回答者： kacchann 回答日時： 2018/06/06 19:36

学校の先生に聞いてみた？

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/06/05 23:12

ANo.1です。

>原点以外で交わることがあるとということは
>わかるんですが、放物線Pと円Cは二つとも
>y軸に対して対称ですよね？ですので一点のみ
>交わる場合それは原点以外にないと思うのですが

>また、半径についてですが、問題文には記述がありません。以下解答を、そのまま載せます。

すみません、自分が質問の問題をきちんと理解していませんでした。
y軸対称の放物線Pと中心(0,m)の円Cが一点のみ共有するのであれば、元の質問に書かれている通り原点(0,0)以外ありません。これは中心(0,m)の半径がmであることを示しています。よって、

x^2 + (y-m)^2 = m^2

でなければなりません。

次に、y=(1/4a)*x^2より、x^2=4ayとなり、上記を代入すると、

4ay + (y-m)^2 =m^2
4ay + y^2 - 2my + m^2 =m
y^2 - 2(m-2a)y=0
y(y-2(m-2a))=0
y=0, 2(m-2a)

また、y=(1/4a)*x^2は下に凸の放物線で、x^2 + (y-m)^2 = m^2と一点のみ交わるので、yは重解である必要がある。このことより、y=2(m-2a)=0でなければならない。

2(m-2a)=0
m-2a=0
m=2a （a,m：正の数）

解答が間違っていると思われます。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/06/05 21:31

円Cが(0,m)に中心があるということは、言い換えればy軸上に円Cの中心があるということです。

放物線の開き具合（aの値）と、円Cの中心(0,m)の位置関係（mの値）および半径が一定もしくはmと連動するのであれば、位置関係によっては原点ではなく、円周上で接する場合があります。

それよりも気になるのは、円Cの半径です。
問題文には円Cの半径について何も記載がないのに、解答にある円の方程式では=m^2とあることから半径mと読み取れます。半径mはどこから出てきたのでしょうか？
仮に問題文に円Cの半径について何も記載がないなら、解答不能（解答は間違い）になります。