連立不等式

Xについての不等式X^ −(a＋1)X＋a<0,
3X^＋2X−1>0を同時に満たす整数Xが
ちょうど3つ存在するような定数aの値の
範囲を求めよ。

aの値によって場合分けをすると解説に
あるのですが、この場合分けをする意味の
ところが良く分かりません。
詳しく教えて頂きたいです。
宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• x^2-(a+1)x+a<0, 3x^2+2x-1>0
  です。
  すみません！

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/10/04 14:20

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/04 14:41

3X^＋2X−1>0を解いてその範囲を調べる→当然ながらこの不等式を満たす整数が判明する

⇔(x+1)(3x-1)>0
⇔x<-1,1/3<x
つまりこの不等式を満たす整数は　-2以下のものか　4以上のもの…①
y=x^2-(a+1)x+a…② とおいてグラフ化してみる
平方完成して頂点の位置を割り出すのもよし
右辺を　(x-1)(x-a)と因数分解して　x軸との交点を割り出し
交点2か所の中間地点にグラフの軸があると考えても良い
（今回は後者のほうが楽そう）
aがあるのでaの数値によってグラフの頂点、x軸との交点の位置が変わる
x^2-(a+1)x+a<0　はグラフのｘ軸より低い部分　を意味するのから
そのような部分に含まれるｘが①のうちの3個となるようなaを調べてあげればよい
ただし②のｘ軸との交点の位置によって　グラフが3タイプ位に分かれるから場合分け
(x-1)(x-a)=0とおくと
x=1,aだから　グラフ②とｘ軸の交点は　(1,0)及び(a,0)
①a<1ならば　グラフはx=1より左側でもう1つの交点を持つ
この時x軸より下となるグラフの部分に①に該当する整数が3個であるようなaを決定する
②a=1ならば重解で　グラフは(1,0)でのみｘ軸と接する
このとき　x軸より下となる部分はないから不適
➂a>1　ならば　グラフとx軸はx=1よりも右で交点を持つ
以下同様

この回答へのお礼

何故それをするべきなのかを
詳しく説明して下さったので、
良く分かりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2020/10/04 16:38

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/10/04 14:09

まず、X^ −(a＋1)X＋a<0,　が正しく書けているか疑問？

この式の意味が不明なので答えようがない