30x+17y=5 この方程式の整数解をすべて求めよ という問題があるのですが解き方が分かりませんm

30x+17y=5
この方程式の整数解をすべて求めよ
という問題があるのですが解き方が分かりませんm(_ _)m
そしてこの問題においてユークリッドの互除法を使うことは必要なのでしょうか？
30x+17x=5は
x=5
y=-8となると思ったのですが回答を見てみると
30x+17y=1とおいて考えてありました。
このように置き換える理由も分かりません。
分からないことが多すぎるのでこれらの疑問を丁寧に教えて頂けると嬉しいですm(._.)m
宜しければ解答お願いしますm(__)m

質問者からの補足コメント

• 解がx=5とy=-8になると記載しましたがこれは計算ミスです…
  すみませんm(_ _)m

    補足日時：2018/11/17 21:31

No.2 ベストアンサー 回答者： にんたまくん 回答日時： 2018/11/17 21:24

>30x+17y=1とおいて考えてありました。

30x+17y=1と置き換えると、ユークリッドの互除法でx,yが求まります。
この時の解、x=4,y=-7
検算すると、30*4+17*(-7)=120-119=1になります。
なので、
(30x4)+(17x(-7)=1を5倍します。
↓
(30x4x5)+(17x(-7)x5)=5
↓
よって、(x,y)=(20,-35)

添付に、30x+17y=1のユークリッド互除法計算を貼り付けました。
引用になりますが、進研ゼミのホームページに右辺=1までのユークリッド互除法について解説がありました。↓
（https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a13m0601.h …）

理解するのに、難しいかもしれませんが、トライして見て下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
貼り付けまでありがとうございますm(__)m
ホームページとても分かりやすかったです！
今解いている問題の解答の本の答えが記載して頂いたものと同じだったのですが私は初めに解答して頂いた方のx=3.y=-5の答えで出したので何が違うのかなと疑問に思いまして…
解は一つじゃないという事なのでしょうか？
質問重ねてしまいすみませんm(_ _)m

お礼日時：2018/11/17 21:41

No.4 回答者： aco_michy 回答日時： 2018/11/17 22:08

No.1です。

＞解の一つということは解はこの一つだけではないということでしょうか？
＞重ね重ね質問すみません…m(__)m

ほかに、成り立つx,yの組を見つければ,同様の計算で、別の解の形が出てきます。

例えば、
偶数を答えるとき
2k
とか、
2k+6
とか
可能ですよね。

だって、
2kも2k+6
偶数ですから…

この回答へのお礼

再び解答ありがとうございます！
例まで付けて頂きありがとうございましたm(__)m

お礼日時：2018/11/17 22:25

No.3 回答者： にんたまくん 回答日時： 2018/11/17 21:55

No.2です。

理解できてよかったですね。
＞解は一つじゃないという事なのでしょうか？　質問重ねてしまいすみませんm(_ _)m
解は一つではないでしょうね。そこも調べたのですが、どうやって出すかまでは分かりませんでした。納得させてあげたかったのですが。残念。
ここからは私の推測ですが以下の式が成立つのであれば、両辺をn倍しても成り立ちますよね。
なので、x=20n,y=-35nは解でしょうね。
(30x4x5)+(17x(-7)x5)=5

それ以上は、申し訳ありませんが、不確かなので。すみません。m(_ _)m
頑張って、勉強して下さい。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます！
わざわざ調べることまでして頂き本当に感謝ですm(__)m
とても分かりやすい解説ありがとうございました！
勉強頑張ります(*´꒳`*)

お礼日時：2018/11/17 22:18

No.1 回答者： aco_michy 回答日時： 2018/11/17 20:54

それは、間違いだと思います。

x=3,x=-5が成り立ちますから。
30x+17y=5
30*3+17*(-5)=5
左辺右辺をそれぞれ引いて
30(x-3)+17(y+5)=0
30(x-3)=-17(y+5)
30と17が互いに素なので、
x-3=17k,y+5=-30k
x=17k+3,y=-30k-5
解の一つを書いてみました。
参考になさってください。

この回答へのお礼

一つ目の質問に引き続き解答ありがとうございます！
とんでもない計算ミスをやらかしてました…
すみませんm(_ _)m
解の一つということは解はこの一つだけではないということでしょうか？
重ね重ね質問すみません…m(__)m

お礼日時：2018/11/17 21:27