運動エネルギーはどういった考えから1/2mv^2になるのですか？ 等加速度運動の式v0t+1/2at

運動エネルギーはどういった考えから1/2mv^2になるのですか？

等加速度運動の式v0t+1/2at^2の加速度の計算に当たる1/2at^2と同じような考えで理解してもいいのでしょうか。そうするとm=aと考えられるような、、、
拙い文章で申し訳ありません、、

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/20 12:15

レール上に（極めて軽い）トロッコBが止まっていてブレーキが掛けられているとします。

（このレールを右向きを正とした数直線と捉えておきます）
その左側から客車Aが早さＷで進んできて、ABは連結し、Bのブレーキの影響でやがて停止した場合を考えます
Bのブレーキの力の大きさが左向きに一定でFであるとすれば、作用反作用によりBは停止まで、Aから右向きにF(一定）の力を受け続けたことになります
停止までにA,Bが動いた距離をｓ（右向きにｓ）とすればBがされた仕事=力ｘ移動距離=Fs[J]です。
言い換えればAはBにFs[J]の仕事をしたことになります
ＡはＢのブレーキ力(-F)を受けるのでＡの加速度を右向きにa[m/s²]とすれば、Ａの運動方程式はma=-Fで
a=-F/mです。
これを等加速度運動に関する3番目の公式：V²-Vo²=2axに代入すると
0-W²=2(-F/m)s
整理して(1/2)mW²=Fs
右辺は前に述べた通りAがした仕事ですから、言い換えればAがBに与えたエネルギーです
つまり、速さWのAは(1/2)mW²のエネルギーを持っていたという事になります。
このことから一般に速さVの物体の運動エネルギーは(1/2)mV²と言えます。

この回答へのお礼

よく分かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2019/02/21 11:24

No.6 回答者： puyo3155 回答日時： 2019/02/20 23:54

物体の運動エネルギーの変化は、物体に与えられた仕事に等しいのです。

なので、

・物体に与えられた仕事を、計算すればいい。
・仕事は、力×移動距離

この２つから計算する。教科書に、公式の証明あると思いますよ。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2019/02/20 12:42

正確には「積分」の考え方を使います。

「エネルギー」とは「した（された）仕事の合計」です。
「仕事」は「かけた力」と「その力で動かした距離」のかけ算です。

つまり、F の力で、x～x+Δx まで動かす仕事ΔWは
　ΔW = F･Δx
で、従って x：0～X (=x(T)) まで動かす仕事は
　W = ∫[0→X]Fdx
となります。

このとき、
　v(t) = dx/dt, t=0 のとき v(0)=v0, t=T のとき v(T) =V
とすれば、「合成関数の積分」をつかって
　W = ∫[0→X]Fdx = ∫[0→X]F(dx/dt)dt = ∫[v0→V]F･vdt
さらに
　F = ma = m･dv/dt
であることから
　W = ∫[v0→V]F･vdt = ∫[v0→V](m･dv/dt)･vdt = ∫[v0→V]mvdv
　　= [ mv^2 /2 ][v0→V]
　　= (1/2)mV^2 - (1/2)m(v0)^2
となります。
「した（された）仕事の合計」が、最終速さVの運動エネルギーと、初速v0の運動エネルギーの差であることが分かります。
初速が v0=0 なら
　W = (1/2)mV^2
です。


もし、積分が得意でないなら、こんな説明。
運動方程式から、かけた力は
　F = ma
と書けます。
このとき、
速さ：v(t) = v0 + a･t
位置：x(t) = x0 + v0･t + (1/2)a･t^2
は公式で習いますね。

t：0～T で移動した距離は
　Δx = x(T) - x0 = v0･T + (1/2)a･T^2
ですから、「仕事」の定義から、この間に力のした仕事は
　W = F･Δx = F[v0･T + (1/2)a･T^2]
　　= F･v0･T + (1/2)F･a･T^2
F = m･a を使って
　W = m･a･v0･T + (1/2)m･a^2･T^2
　　= (1/2)m[ (a･T + v0)^2 - (v0)^2 ]　　　①
です。

一方、t=T のときの速さ V は
　V = v(T) = v0 + a･T
なので、これを使えば①は
　W = (1/2)m[ V^2 - (v0)^2 ] = (1/2)mV^2 - (1/2)m(v0)^2
となります。
これは、上の積分にも書いた『「した（された）仕事の合計」が、最終速さVの運動エネルギーと、初速v0の運動エネルギーの差である』ということです。
t=0 のとき v0=0 なら
　W = (1/2)mV^2
です。

こんな説明で納得するかな？

No.4 回答者： 須藤 回答日時： 2019/02/20 12:15

すみません、写真が不鮮明なのでもう一度送ります

No.2 回答者： 須藤 回答日時： 2019/02/20 12:10

写真のようになると思われます

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/02/20 11:47

運動エネルギー=仕事=力×L(距離)

力=質量×加速度=ma

運動エネルギー=maL

初速度v0がvになった時に、それまでに動いた距離Lと、加速度aを使うと
v²-v0²=2aL。初速度=0の場合はv²=2aL⇒aL=v²/2

∴運動エネルギー=maL=(1/2)mv²