数学

1はわかりました。
2の解法を教えてください。
方針がまったくわからないです。

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/03/22 14:01

No2の通りですね！

1)から、(αーβ)^2=(α+β)^2ー4αβ=a^2ー4(aー1)^2 ……(2)
=｛a+2(aー1)｝・｛aー2(aー1)｝
=(3aー2)(2ーa) ……(3)

2) y=x^2 +ax+(aー1)^2=0 ……(1)が異なる2つの実数解をもつことから
判別式=a^2ー4(aー1)^2 ＞0 ……(4)及び(3)から
aの範囲は、2/3＜a＜2 ……(5)である。

また、(2)は、ー3a^2 +8aー4=ー3(aー4/3)^2 +4/3 ……(6)であるから
(5)の定義域での値域は、(6)より 0＜ー3a^2+8aー4＜4/3であるから、
ー3a^2+8aー4=m^2になるには、m=1のみだから
ー3a^2+8aー4=1^2 ∴ ー3a^2+8aー5=(aー1)(5ー3a)=0
∴ a=1,5/3

No.3 回答者： springside 回答日時： 2019/03/22 06:35

No.2の者です。

本問では、たまたま、aの実数条件でmの候補を絞り込めて、うまくいきましたが（これは「たまたま」です）、
もしうまく行かなかった場合は（例えば、もし、m²≧4/3になってしまっていたら、mの候補は絞り込めない）、
また別の方法を考えることになります。

なので、「aの実数条件で考える」というのは、あくまでも方法の一つであり、それが全てではないと認識すべきです。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2019/03/21 22:50

(2)

2つの解の平方は、-3a²+8a-4であり、これが整数の2乗なので、
mを整数として、-3a²+8a-4=m²
つまり、3a²-8a+m²+4=0　※

aは実数なので、このaの2次方程式の判別式Dは0以上。
よって、D/4=16-3(m²+4)=4-3m²≧0
つまり、m²≦4/3であり、これを満たす整数は±1と0しかない。
しかし、与えられた2次方程式は相異2実数解を持つから、2つの解の差であるmが0にはなり得ない。
よって、m=±1

このとき、※は、3a²-8a+5=0
(a-1)(3a-5)=0
よって、a=1,5/3　（これは、与えられた2次方程式が相異2実数解を持つ条件である2/3<a<2をみたす）…答


注：No.1さんは、aが整数であると勘違いしてませんか？

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/03/21 22:26

2つの実数解をp,qとすると、

p+q=-a
pq=(a-1)^2

2つの異なる解の差の平方は、
(p-q)^2=(p+q)^2 - 4pq
=(-a)^2 - 4(a-1)^2

これは判別式そのものになります。

2つの異なる実数解を持つので、判別式は
(-a)^2 - 4(a-1)^2 >0
a^2 - 4(a-1)^2>0
4(a-1)^2 - a^2<0
(2(a-1)+a)(2(a-1)-a)<0
(3a-2)(a-2)<0
2/3<a<2

上記の範囲で整数になりえるのはa=1のみ。
ゆえにa=1