中学数学、素因数分解について

今日学校の授業で素因数分解をやったのですが、「10001を素因数分解しなさい」という問題が出て、私も含めクラス全員大苦戦しました。
先生によると「工夫すれば簡単にできる」らしいのですが、どのように工夫すればいいのでしょうか。分かる方がいたら教え下さい。

No.5 回答者： さ_ラま 回答日時： 2019/05/12 11:27

補足。

+1.後付けで

a²が110²,120²･･･のケースは個別に計算したらいい。
としときます。

すいません。

No.4 回答者： さ_ラま 回答日時： 2019/05/11 10:06

補足。

訂正。
素数2,3,5,7,11,13ほどまでで｢割り切れず｣の間違いです。

No.3 回答者： さ_ラま 回答日時： 2019/05/10 22:38

0.

なんとか
a²－b²=(a＋b)(a－b)の形にもっていきたい

1.
a²－b²=10001 にしたいので
① aを二乗した数は
10001より大きい
なので
a=100 a²=100²=10000ではだめ

② bを二乗した数は
aを二乗した数から引いて10001にしたいので
aを二乗した数の
一の位より 1少ない数でさがす

2.
･ 2乗した数の｢一の位｣を考えるにあたり
絞りこみたい
1²=1
2²=4
3²=9
4²=16 →一の位は 6
5²=25 →5
6²=36 →6
7²=49 →9
8²=64 →4
9²=81 →1
なので
･ a²の一の位は
｢1, 4, 5, 6, 9｣のはずだが、
さらに
･ b²の一の位は
a²の一の位より 1少ない数
なので
1²→1－1= 0
2²→4－1= 3
3²→9－1= 8
4²→6－1= 5
5²→5－1= 4
6²→6－1= 5
7²→9－1= 8
8²→4－1= 3
9²→1－1= 0

｢0, 3, 4, 5, 8｣のうち
二乗した数で｢一の位｣になる
｢1, 4, 5, 6, 9｣と照らし
b²の一の位は｢4か5｣

･ b²の一の位｢4か5｣は a² の 一の位より 1 少なゆえに
→ a²の一の位は｢4か5｣に1足した｢5か6｣になる
したがって
■ aの一の位は
4²=16
5²=25
6²=36
｢4か5か6｣になる

3.
1.と2.をふまえて探す

a=104 a²=10816
10816－b²=10001
b²=815
815が何かの2乗になるか探る
815=5×163になり不可

a=105 a²=11025
11025－b²=10001
b²=1024
1024=32×32
b=32
■ 105²－32²=10001
(105 + 32)(105 - 32)=10001
137×73=10001
137と73は
素数2, 3, 5, 7,11,13ほどまでで割れず、11×13=143になり137より大きくなるので、
素数。

10001=137×73

補足。
他の方の回答にはいつもお世話になってます。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/08 15:04

小さい素数から割っていって、23か29くらいまでで割り切れなかったら、

エラトステネスの篩でやってしまうかなあ。
10001なら、ぎりぎり篩法でこなせる大きさだし、
考えている間に作業してしまったほうが早いかもしれない。

1000１が素数でないとすると、最小の素因数は100以下なので、
候補となる素数は25個しかない。100までの素数表を篩法で作って、
それぞれ割り算してみるだけでもいいかも。

割り算するときに、10001 を p で割った余り = (100^2 + 1) を p で割った余り
= ( 100 を p で割った余り )^2 + 1 を p で割った余り.
とかで多少省力化できるかも。

No.1 回答者： kuroki55 回答日時： 2019/05/08 06:35

私にはよく分かりませんが、下記の方法が有るみたいです。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/questio …