次の問題を教えてください。 (x,y)→(0,0)のとき、関数(sinx*tany)/(sin^2x

次の問題を教えてください。

(x,y)→(0,0)のとき、関数(sinx*tany)/(sin^2x+sin^2y)の極限を調べよ。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/28 19:36

(sin x)(tan y) / { (sin x)^2 + (sin y)^2 }

= (1/xy) ((sin x)/x) ((tan y)/y) / { ((sin x)/x)^2 + ((sin y)/y)^2 }.

lim[x→0] (sin x)/x = 1,
lim[y→0] (tan y)/y = 1 より
lim[x→0,y→0] ((sin x)/x) ((tan y)/y) / { ((sin x)/x)^2 + ((sin y)/y)^2 }
= 1・1 / { 1^2 + 1^2 } = 1/2 が収束するので、
lim[x→0,y→0] (sin x)(tan y) / { (sin x)^2 + (sin y)^2 }
は発散する。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/07/29 13:14

#1さま。

式変形が間違っていませんか?
>(sin x)(tan y) / { (sin x)^2 + (sin y)^2 }
= (1/xy) ((sin x)/x) ((tan y)/y) / { ((sin x)/x)^2 + ((sin y)/y)^2 }

展開したら
(sin x)*(tan y)/{y^2*(sin x)^2+x^2*(sin y)^2}
になりますが。

X=sin(x),Y=sin(y)と置くと
与式=(1/(cos(y))*XY/(X^2+Y^2)
となります。(x,y)→(0,0)のとき(X,Y)→(0,0),cos(y)→1ですのでXY/(X^2+Y^2)の極限を考えればよい。

X=r*cos(θ),Y=r*sin(θ)と置くと
X*Y/(X^2+Y^2)=sin(θ)*cos(θ)となり、この値はθによって変わる。よって(X,Y)→(0,0)の極限において収束しない。

#1の結果からは(x,y)→(0,0)の極限をとると絶対値が無限大に発散するが、上記の結果からは-1/2～1/2の範囲に収まる。