z^5=1の虚数解の一つをαと置くとき(1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4)の値を求め

z^5=1の虚数解の一つをαと置くとき(1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4)の値を求めよ。
という問題なのですがノートの解答のどこが間違っているか教えてください

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/09/26 23:56

掛け算を間違えてる.

(1-α)(1-α^4) = 1 - α^5 - α - α^4?

No.2 回答者： uyama33 回答日時： 2019/09/27 07:48

これでは解答になりません。

例えば、
z^5=1の虚数解の一つをαと置くとき
α^5=1
α^5-1=(α-1)(α^4+α^3+α^2+α^1+1)=0
αは虚数解なので、(α-1)は０ではない。
よって、(α^4+α^3+α^2+α^1+1)=0
よって、α^4+α^3+α^2+α^1＝-1
ここで、
(1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4)
＝(1-α)(1-α^4)(1-α^2)(1-α^3)
＝(1-α^4-α+α^5)(1-α^3-α^2+α^5)
=(2-α^4-α)(2-α^3-α^2)
=4-2(α^3+α^2+α^4+α^1)+(α^7+α^6+α^4+α^3)
=4-2(α^3+α^2+α^4+α^1)+(α^2+α^1+α^4+α^3)
=4+2-1
=5

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/09/27 08:05

a^5-1=0=(a-1)(a^4+a^3+a^2+a+1)

a≠0なので
a^4+a^3+a^2+a+1=0
a^4+a^3+a^2+a=-1

(1-a)(1-a^2)(1-a^3)(1-a^4)
=(1-a)(1-a^4){(1-a^2)(1-a^3)}
=(1-a-a^4+a^5)(1-a^2-a^3+a^5)
=(2-a-a^4)(2-a^2-a^3)
=4-2a^2-2a^3 -2a+a^3+a^4 -2a^4+a^6+a^7
=4-a-a^2-a^3-a^4
=4-(a+a^2+a^3+a^4)=5

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/09/27 20:34

貴方の間違いの個所は、No.1 さんの言うとおりで、

そこを修正してやりなおせば、正解に至ると思うけど...

単に問題を解くだけなら、こんなのはいかが？
f(x) = x^5 - 1 とおくと、
f(x) = 0 の解は x = 1,α,α^2,α^3,α^4 だから、
f(x) = x^5 - 1 = (x-1)(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4) と因数分解できる。
f(x) を微分すると、積の微分法則から
f’(x) = 5x^4 - 0 = (x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4) + (x-1)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4) + (x-1)(x-α)(x-α^3)(x-α^4)
　　　　　　　　+ (x-1)(x-α)(x-α^2)(x-α^4) + (x-1)(x-α)(x-α^2)(x-α^3)
これに x = 1 を代入すると、
f’(1) = 5 = (1-α)(1-α^2)(1-α^3)(1-α^4) + 0 + 0 + 0 + 0.
おしまい。