f(x)=∮[0→1] |x-t|e^t dtとおく （eは自然対数の底2.718...である） f

f(x)=∮[0→1] |x-t|e^t dtとおく
（eは自然対数の底2.718...である）
f(x)を求めよ(積分を計算せよ)

数三の問題です。
解き方を教えていただけませんか。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/07 19:08

∮ は記号が違うかなあ、∫ ですね。

被積分関数内の絶対値記号をなくすために、積分区間を分割する
ことを考えましょう。分割のしかたは、x の大きさによって変わります。

x ≧ 1 のとき
f(x) = ∫[0→1] |x-t|e^t dt = ∫[0→1] (x-t)e^t dt
= [ (x-t)e^t ]_(t=0→1) - ∫[0→1] (-1)e^t dt
= { (x-1)e^1 - (x-0)e^0 } + [ e^t ]_(t=0→1)
= { ex - e - x } + { e - 1 }
= (e-1)x - 1.

0 < x < 1 のとき
f(x) = ∫[0→1] |x-t|e^t dt = ∫[0→x] (x-t)e^t dt + ∫[x→1] -(x-t)e^t dt
= [ (x-t)e^t ]_(t=0→x) - ∫[0→x] (-1)e^t dt + [ -(x-t)e^t ]_(t=x→1) - ∫[x→1] -(-1)e^t dt
= { (x-x)e^x - (x-0)e^0 } + [ e^t ]_(t=0→x) + { -(x-1)e^1 + (x-x)e^x } - [ e^t ]_(t=x→1)
= { 0 - x } + { e^x - e^0 } + { -ex + e + 0 } - { e^1 - e^x }
= -(e+1)x + 2e^x - 1.

x ≦ 0 のとき
f(x) = ∫[0→1] |x-t|e^t dt = ∫[0→1] -(x-t)e^t dt
= - { (e-1)x - 1 }
= -(e-1)x + 1.

この回答へのお礼

間違いまで丁寧に御指摘していただき有難う御座います。とても助かりました。有難う御座いました！！！

お礼日時：2019/10/07 19:50