数学での質問です。 (2)で、なぜII図のように中点連結定理を使ってもOHが出ないのか、わかりません

数学での質問です。
(2)で、なぜII図のように中点連結定理を使ってもOHが出ないのか、わかりません。
相似な図形△OHMと△LNMで、
相似比が1:2なので、OHをx ㎝とするとLNは2x㎝と表せると思います。
そして、
△OHMの斜辺OM=△LNMの斜辺LM -OM
が成り立つと思い、
√(3^2+x^2)＝√(6^2+2x^2)− √(3^2+x^2)
　　　　　　　↓
√(9+x^2)=√(36+4x^2)−√(9+x^2)
↓
9+x^2=36+4x^2+9−x^2
↓
2x^2=−36 となり、左辺がマイナスになってしまい、xが求められません。
正答は、7分の3√7です。
なぜこの方法では求められないのか、教えてほしいです。

質問者からの補足コメント

• 何度も申し訳ないのですが、もう一つ質問させてください。
  同じ考え方、というのは具体的にどのような場合を言うのでしょうか。
  しつこくてすみません、、、

    補足日時：2019/12/10 19:29

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/09 21:58

√(9+x^2)=√(36+4x^2)−√(9+x^2)

↓
9+x^2=36+4x^2+9−x^2
この矢印の変形はできません。
右辺が２つのルートになっていますので無理です。
右辺が、√{(36+4x^2)−(9+x^2)} のように１つのルートの中に入っていれば、変形可能です。

この回答へのお礼

そもそも式が間違っていました、、、
ご指摘ありがとうございます

お礼日時：2019/12/10 19:24

No.2 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2019/12/09 23:56

それぞれの項を二乗してルートを外したのが間違いです。

等号を成り立たせるには、（左辺の式）＾２＝（右辺の式）＾２、になります。
それともうひとつ、方程式の立て方のやりがちな間違いをしています。
左辺と右辺で違う考え方で式を立てないで、おなじ考え方で式を立てて計算すると０になってしまいます。右辺の√（９＋ｘ＾２）を左辺に移項して、左辺をまとめてあげて、二乗すると左辺も右辺も同じになってしまいます。
この問題は、円が接していることを使って、半径が△ＯＡＭ，△ＯＡＮ，△ＯＭＮの高さになっていることから三角形の面積で求めます。

この回答へのお礼

同じ考え方だとだめなんですね、、、
ありがとうございます

お礼日時：2019/12/10 19:25

No.3 ベストアンサー 回答者： ginga_kuma 回答日時： 2019/12/10 23:19

中点連結定理しか使っていないということですね。

中点連結定理から OH：LM=1：2=x：2x です。
作った式は OM=OL ですね。つまり中点連結定理を使っています。
中点連結定理から出てくる 1：2 しか使っていないんです。
x、2x を使うのなら、例えばANとMLの交点をPとして△AOP∽△NLP で違う比を使えばいいんです。x：2x ではなくて (√7-x)：2x で 1：2 から離れます。ところが、この相似比がちょっと求まらないんです。たぶん 2：3 なんだろうけど・・・難しいです。

半径を高さに使う解法を薦めましたが、もうひとつありました。
AMにOから垂線（半径）Qを引いて、直角三角形AQOで三平方の定理で求めることが出来ます。
MP=MH=3（接線の長さが等しい） AM=4なので AQ=AM-MP=4-3=1
AH=√7、AO=AH-OH=√7-x
OQは半径xなので OQ=X
AQ^2+OQ^2=AO^2
1^2+x^2=(√7-x)^2　を解けば求められます。

入試までまだ時間があります。頑張ってください。

この回答へのお礼

詳しく教えてくださりありがとうございます！
面積を使って求める方法、三平方の定理で求める方法、どちらも解答・解説のページには載っておらず、付属の解説よりもはるかに分かり易かったです！
本当にありがとうございます！
受験まであと2ヶ月ほどですが、一生懸命勉強して、志望校に入れるよう、頑張ります。
この度は、ご親切に、そしてわかりやすいように教えてくださり、本当にありがとうございました。

お礼日時：2019/12/13 21:50