大学受験の問題です

大問3の(3)の解法を教えて下さい。
答えは17と19ですが、途中式でこれというものが出ません(。´Д⊂)
宜しくお願いしますm(_ _)m


大問３
3辺の長さがすべて素数であるような△ABCがある。辺BC,辺CA,辺ABの長さをそれぞれa、
b、cとし、C=θとするとき,次の問いに答えよ。

(1)a=5,b=3.c=5であるとき,cosθの値を求めよ。
(2)a=2,cosθ=1/3であるときb,cの組(b,c)を求めよ。
(3)a=3,-5/8くcosθく-11/18であるとき、b,cの組(b,c)を求めよ。

No.1 回答者： スチールウール 回答日時： 2020/02/19 18:59

なんか無駄な行動取っている気もしますが

三角形の存在条件より
a<c<a+b=3+b
a=3より3<c. cは素数なのでcは奇数かつc>4
4<c<3+b
3+b,cは整数なので3+b>5
b>2. bは素数なのでbは奇数。
さらにc<3+bより
c-b<3
cもbも奇数なのでc=b+2 (c=b+xとするとc-b=(b+x)-b = x<3より. +1だと偶数になるので不適)

余弦定理より
c² = a²+b²-2abcosθ
cは素数なのでc²は自然数。
a²,b²も自然数なため、2abcosθも自然数
よって、cosθ = -k/(2ab) = -k/(6b)とおける (kは0<k<6bの自然数)

-5/8くcosθく-11/18より-5/8く-k/(6b)く-11/18
11/18<k/6b<5/8
全ての項に72bを掛けて
44b<12k<45b
(36+8)b < 12k <(36+9)b
3b+8b/12 < k < 3b+ 9b/12
よって、3b<k<4bが成り立つ。

k=3b+m (8b/12<m<9b/12の自然数)とすると
c² = a²+b²-2abcosθ
c² = 9+b²+6b(3b+m)/6b
(c²-b²)=9+3b+m
(c+b)(c-b) = 9+3b+m

c=b+2を代入して
(b+2+b)(b+2-b) = 9+3b+m
2(b+1)(2) = 9+3b+m
4b+4 = 9+3b+m
4b-3b = 9+m-4 =5+m
b=5+m
よってm=b-5

8b/12<m<9b/12に代入して
8b/12<b-5<9b/12
3b/12<5<4b/12
60/4<b<60/3
15<b<20
これを満たすbは17 or 19
b=19の時c=b+2=21となり素数にならない
よって、b=17, c=19.

この時cosθ = (3²+17²-19²)/(2*3*17) = -21/34となり条件を満たす
(b,c)=(17,19)

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/02/19 21:44

cosθ<0 より、θは鈍角

よって、a,b,c の中ではｃが一番大きい。
また、三角形の2辺の和は他の1辺より長いので
a<c<a+b
a=3より、
3<c<3+b
b=2 とすると、3<c<5 ｃは素数より不適。よって、ｂ≠２、ｂは奇数。
c<b+3 より、c=b+1、または、c=b+2
c=b+1 とすると、ｃは偶数になり不適。よって、c=b+2……①

余弦定理より、
cosθ=(a²+b²-c²)/2ab
①を代入すると
cosθ={a²+b²-(b+2)²}/2ab
=(a²-4b-4)/2ab
a=3 より、
cosθ=(9-4b-4)/6b
=(5-4b)/6b

-5/8くcosθく-11/18 より、
-5/8く(5-4b)/6bく-11/18
-45b<12(5-4b)<-44b
-45b<60-48b<-44b
15<b<20
ｂは素数より、b=17 , 19
①に代入して、
b=17 のとき、c=19
b=19 のとき、c=21 ｃは素数より不適。

したがって、(17,19)

この回答へのお礼

助かりました。
有難うございます。

お礼日時：2020/02/20 17:11