y=sinx+√3cosx,xの範囲が0からπ /4の最大値を求めよという問題が分かりません！教えて

y=sinx+√3cosx,xの範囲が0からπ /4の最大値を求めよという問題が分かりません！教えてください！

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/05/13 13:23

１つの三角関数にまとめるのが「定石」です。

高さが √3（cos の係数）、底辺が 1（sin の係数）の直角三角形を考えれば、斜辺の長さは
　√[1^1 + (√3)^2] = √4 = 2
になります。

この直角三角形の、直角でない方の底角を θ とすれば
　sinθ = √3 /2
　cosθ = 1/2
になることは分かりますね？
そうすれば、この角度は
　θ = (1/3)パイ
であることがわかります。

ということで、与式を考えれば

y = sin(x) + √3cos(x) = 2[(1/2)sin(x) + (√3 /2)cos(x)] = 2[cosθ･sin(x) + sinθ･cos(x)]

三角関数の加法定理を使って、これは

y = 2sin(x + θ) = 2sin[x + (1/3)パイ]

と書けます。

このように変形できれば
　0 ≦ x ≦ (1/4)パイ　→　(1/3)パイ ≦ x + (1/3)パイ ≦ (7/12)パイ
なので
　x + (1/3)パイ = (1/2)パイ のとき最大値 2
　x + (1/3)パイ = (1/3)パイ のとき最小値 √3
になることがわかりますね。

No.4 回答者： konjii 回答日時： 2020/05/13 13:23

y=sinx+√3cosxを微分して(微分を覚えると便利ですよ）

ｙ’＝cosx-√3sinx
最大値があればｙ’＝０
cosx=√3sinx
1/√3=tanxになるような０≦ｘ≦Π/4の
ｘ＝Π/６
ｙ＝sinΠ/６+√3cosΠ/６=1/2+3/2=2

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/05/13 13:16

加法定理を使うが、ひと工夫必要。

y=sinx+√3cosx
=2((1/2)sinx+(√3/2)cosx)
=2((√3/2)cosx+(1/2)sinx)
=2(cosx cos(π/6)+sinx sin(π/6))
=2cos(x-(π/6))

0≦x≦π/4の範囲なので、x-(π/6)=0、すなわちx=π/6の時が最大となる。
このときの最大値は、y=2

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/13 13:09

sin,cosの係数を用いて三平方の定理：1²＋√3²＝２²より　2でくくりだしを行う

y=sinx+√3cosx=2{(1/2)sinx+(√3/2)cosx}
=2{cos(π/3)sinx+sin(π/3)cosx}
｛｝内は加法定理で変形可能で
=2sin(x+(π/3))
0≦x≦π/4なら
(π/3)≦x+(π/3)≦7π/12だから
sin(x+(π/3))は(x+(π/3))＝π/2でmax
このとき　(x+(π/3))＝π/2⇔x=π/6
ゆえに　ｘ＝π/6でｙも最大となり
y(max)=2sin((π/6)+(π/3))=2