3次方程式カルダノの解法の疑問

3次方程式カルダノの解法で解が9個出てくるのですが、説明ではオメガとオメガ二乗の組み合わせがかけた時に定数になるから、、？3組が正解とのことですが、定数が虚数の場合はどうなるのでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/11/29 00:29

「定数」がなんのことやらわからんが, 本質はなにもかわらない.

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/11/29 00:38

カルダノの公式におけるωは

ω=(-1+√3i)/2

で表す複素数。偏角で表すと、

ω=cos(2/3)π+i sin(2/3)π

となる。

>説明ではオメガとオメガ二乗の組み合わせがかけた時に定数になるから

ド・モアブルの定理から、

ω^2=cos(4/3)π+i sin(4/3)π=(-1-√3i)/2
ω^3=cos(6/3)π+i sin(6/3)π=cos2π+i sin2π=1

となる。よって、

ω×ω^2=ω^3=1

となる。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2020/11/30 09:20

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/11/29 19:16

カルダノ法は、 x^3 + ax + b = 0 に x = u + v を代入して

(u^3 + v^3 + b) + x(3uv + a) = 0 と変形し、
u^3 + v^3 + b = 3uv + a = 0 を満たす u, v があれば x が見つかる
と考える。 この時点で十分性しか考えておらず、同値変形でないから
解の個数を考察できるような解法ではない。

u^3 + v^3 = -b, (u^3)(v^3) = -(a/3)^3 から
この式を満たす { u^3, v^3 } が 1 通り見つかるのだが、
それぞれの立方根をとって { u, v } が 9 通りとするのは誤りで、
(u^3)(v^3) = -(a/3)^3 ではなく、元の uv = -a/3 を満たす { u, v } は
3 通りしかない。

この回答へのお礼

ありがとうございました、もう一度考えてみます

お礼日時：2020/11/30 08:57