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https://www.morikita.co.jp/data/mkj/005731mkj.pdf
こちらのpdfの問2.2の内積を求める問題を解いています
問題には内積の角度が与えられていませんが、
どのようにして角度を求めるのでしょうか?
初歩的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

gooドクター

A 回答 (3件)

No.2 です。


全て同じですが、角度なり cos の値を確認するためには、2つのベクトルの「始点」を一致させる必要があります。

問2.2(2) は
 →AO = -(→OA)
であることが分かっていれば
  →AO・→OB = -(→OA・→OB) = -10
と分かります。

あくまで角度を使って解くのであれば

(a) まずは「→AO」の始点を「O」の位置になるように「左に2つ」平行移動する。(それを仮に「→OC」とする)

(b) 従って、→AOと→OBのなす角は「∠COB」ということになる。

(c) そうすれば
 cos∠COB = -5/√41
となることは分かりますか?
鈍角の cos は「マイナス」になります。

(d) 以上から
 →AO・→OB = |→AO| × |→OB| × cos∠COB
       = 2 × /√41 × (-5/√41)
       = -10


(3) 次の手順で考えます。

(a) まずは「→AB」の始点を「O」の位置になるように「左に2つ」平行移動する。そのときの B の移動先は (3, 4) になり、そこを D とする。

(b) D から OA の延長線に下ろした垂線の足を E とすれば、E は (3, 0) である。

(c) 従って、→ABと→OAのなす角は「∠DOA」ということになる。

(d) そうすれば
  cos∠DOA = OE/OD
です。ここで
 OE = 3, OD = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5
なので
 cos∠DOA = 3/5

(e) 以上から
 →AB・→OA = |→AB| × |→OA| × cos∠DOA
       = |→OD| × |→OA| × cos∠DOA
       = 5 × 2 × (3/5)
       = 6
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内積は「ベクトルの成分」が分かっていれば求められます。



→a = (a1, a2)
→b = (b1, b2)
なら
 →a・→b = a1 × b1 + a2 × b2
です。

お示しの例題でいえば
→OA = (2, 0)
→OB = (5, 4)
なので
 →OA・→OB = 2 × 5 + 0 × 4 = 10
です。

あるいは、どうしても「角度と cos」を使いたいのなら
→OB = (5, 4)
なので、三平方の定理から
|→OB| = √(5^2 + 4^2) = √41
従って
 cos∠BOA = 5/√41
従って、
 →OA・→OB = |→OA| × |→OB|5 × cos∠BOA
       = 2 × √41 × (5/√41)
       = 10
です。

他も同じようにして解けます。
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OAとOBのなす角度θそのものを求めるのは難しいが、cosθであれば求まる。


点Bを通って直線OAとの交点をCとおく。つまり、OC→ = (5/2)OA→
cosの定義により、cosθ=5/|OB|=5/√(5^2+4^2)=5/(√41)
故にOA→・OB→=|OA||OB|cosθ=2×{√(5^2+4^2)}×{5/(√41)}=10

以下、同様にするので省略。
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