内積の問題で角度を与えられていないときはどうすればいいですか？

https://www.morikita.co.jp/data/mkj/005731mkj.pdf
こちらのpdfの問2.2の内積を求める問題を解いています
問題には内積の角度が与えられていませんが、
どのようにして角度を求めるのでしょうか？
初歩的な質問で申し訳ありませんが、よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/04/18 00:45

No.2 です。

全て同じですが、角度なり cos の値を確認するためには、2つのベクトルの「始点」を一致させる必要があります。

問2.2(2) は
　→AO = -(→OA)
であることが分かっていれば
　 →AO･→OB = -(→OA･→OB) = -10
と分かります。

あくまで角度を使って解くのであれば

(a) まずは「→AO」の始点を「O」の位置になるように「左に2つ」平行移動する。（それを仮に「→OC」とする）

(b) 従って、→AOと→OBのなす角は「∠COB」ということになる。

(c) そうすれば
　cos∠COB = -5/√41
となることは分かりますか？
鈍角の cos は「マイナス」になります。

(d) 以上から
　→AO･→OB = |→AO| × |→OB| × cos∠COB
　　　　　　　= 2 × /√41 × (-5/√41)
　　　　　　　= -10


(3) 次の手順で考えます。

(a) まずは「→AB」の始点を「O」の位置になるように「左に2つ」平行移動する。そのときの B の移動先は (3, 4) になり、そこを D とする。

(b) D から OA の延長線に下ろした垂線の足を E とすれば、E は (3, 0) である。

(c) 従って、→ABと→OAのなす角は「∠DOA」ということになる。

(d) そうすれば
　　cos∠DOA = OE/OD
です。ここで
　OE = 3, OD = √(3^2 + 4^2) = √25 = 5
なので
　cos∠DOA = 3/5

(e) 以上から
　→AB･→OA = |→AB| × |→OA| × cos∠DOA
　　　　　　　= |→OD| × |→OA| × cos∠DOA
　　　　　　　= 5 × 2 × (3/5)
　　　　　　　= 6

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/04/17 23:29

内積は「ベクトルの成分」が分かっていれば求められます。

→a = (a1, a2)
→b = (b1, b2)
なら
　→a･→b = a1 × b1 + a2 × b2
です。

お示しの例題でいえば
→OA = (2, 0)
→OB = (5, 4)
なので
　→OA･→OB = 2 × 5 + 0 × 4 = 10
です。

あるいは、どうしても「角度と cos」を使いたいのなら
→OB = (5, 4)
なので、三平方の定理から
|→OB| = √(5^2 + 4^2) = √41
従って
　cos∠BOA ＝ 5/√41
従って、
　→OA･→OB = |→OA| × |→OB|5 × cos∠BOA
　　　　　　　= 2 × √41 × (5/√41)
　　　　　　　= 10
です。

他も同じようにして解けます。

No.1 回答者： Dr-Field 回答日時： 2021/04/17 17:32

OAとOBのなす角度θそのものを求めるのは難しいが、cosθであれば求まる。

点Bを通って直線OAとの交点をCとおく。つまり、OC→ ＝ (5/2)OA→
cosの定義により、cosθ＝5／|OB|＝5／√(5^2＋4^2)＝5／(√41)
故にOA→・OB→＝|OA||OB|cosθ＝2×{√(5^2+4^2)}×{5／(√41)}＝10

以下、同様にするので省略。